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          湖北省2009屆高三八校聯(lián)考第二次
          理科數(shù)學試卷
          鄂南高中  黃岡中學  黃石二中  華師一附中    荊州中學   襄樊四中  襄樊五中   孝感高中                  
命題人：襄樊五中 劉 
軍 何宇飛
          審題人：襄樊四中尹春明
          考試時間：2009.3.27下午15：00～17：00
          一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
          1.  成立的充要條件是（    ）
          

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          2.  設復數(shù)，（），若為實數(shù)，則等于（    ）
          

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          3.  已知、是不共線的向量，，（、），則、、三點共線的充要條件是（    ）
          

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          4.  設映射是實數(shù)集到實數(shù)集的映射，若對于實數(shù)，在中不存在原象，則的取值范圍是（    ）
          

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          5.  等差數(shù)列中，是其前項和，，，則的值為（    ）
          

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          6.  已知函數(shù)（）（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的反函數(shù)為，則有（    ）
          

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          7.  要從名女生和名男生中選出名學生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（    ）
          

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          8.  半徑為的球面上有、、三點，其中點與、兩點間的球面距離均為，、兩點間的球面距離均為，則球心到平面的距離為（    ）
          

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          9.  已知函數(shù)（，）對定義域內(nèi)的任意，都滿足條件
          

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          ，若，，則有（    ）
          

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          10. 已知，若方程的兩個實數(shù)根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（    ）
          

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          二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
          11. 設實數(shù)、滿足，則的取值范圍是__________.
          

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          12. 設是的展開式中項的系數(shù)（、、、…），則
          _____________.
          

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          13. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足不等式，則的值為_____________.
          

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          14. 在中，，以點為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在邊上，且這個橢圓過、兩點，則這個橢圓的焦距長為_____________.
          

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          15. 設、、依次是的角、、所對的邊，若，且，則_____________.
          

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          三、解答題（本大題共6小題，共75分）
          16．（本小題滿分12分）
          

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          已知向量，（，）.函數(shù)，
          

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          的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點.
          

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          （Ⅰ）求函數(shù)的表達式；
          

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          （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
           
           
           
          

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          17．（本小題滿分12分）
          

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          在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.
          （Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；
          

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          （Ⅱ）用表示回答該題對的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
           
           
           
          

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          18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。
          

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          （Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大��；
          

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          （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。
          

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          19．（本小題滿分12分）
          

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          已知函數(shù).
          

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          （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
          

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          （Ⅱ）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；
          

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          （Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有
          

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          20．（本小題滿分13分）
          

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          如圖，已知曲線與拋物線的交點分別為、，曲線和拋物線在點處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.
          

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          （Ⅰ）當為定值時，求證為定值（與無關），并求出這個定值；
          

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          （Ⅱ）若直線與軸的交點為，當取得最小值時，求曲線和的方程。
           
           
           
          

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          21．（本小題滿分14分）
          

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          已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.令.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，求證：（）；（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數(shù)，都有；②對于任意的，均存在，使得時，
           
          

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          題 號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          9
          10
          答 案
          11. ；  
12. ；  
13．或或；    14.；     15．.
          三、解答題（本大題共6小題，共75分）
          16．（本小題滿分12分）
          已知向量，（，）.函數(shù)，
          的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點.
          （Ⅰ）求函數(shù)的表達式；
          （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
          【解】（Ⅰ）
          …………3′
          由題意得周期，故.…………4′
          又圖象過點，∴
          即，而，∴，∴………6′
          （Ⅱ）當時，
          ∴當時，即時，是減函數(shù)
          當時，即時，是增函數(shù)
          ∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是…………12′
           
          17．（本小題滿分12分）
          在某社區(qū)舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.
          （Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；
          （Ⅱ）用表示回答該題對的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
          【解】（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即
          ∴，.…………6′
          （Ⅱ）由（Ⅰ），.
          的可能取值為：、、、.
          則；
          ；
          ；
          .…………9′
          ∴的分布列為
          的數(shù)學期望.…………12′
           
          18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。
          （Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大��；
          （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。
          【法一】（Ⅰ）當時，作在上的射影. 連結(jié).
          則平面，∴，∴是的中點，又，∴也是的中點，
          即.  反之當時，取的中點，連接、.
          ∵為正三角形，∴.   由于為的中點時，
          ∵平面，∴平面，∴.……4′
          （Ⅱ）當時，作在上的射影. 則底面.
          作在上的射影，連結(jié)，則.
          ∴為二面角的平面角。
          又∵，∴，∴.
          ∴，又∵，∴.
          ∴，∴的大小為.…8′
          （Ⅲ）設到面的距離為，則，∵，∴平面,
          ∴即為點到平面的距離，
          又，∴.
          即，解得.即到面的距離為.……12′
          【法二】以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，
          為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
          設，則、、.
          （Ⅰ）由得，
          即，∴，即為的中點，
          也即時，.…………4′ 
          （Ⅱ）當時，點的坐標是.  取.
          則，.
          ∴是平面的一個法向量。
          又平面的一個法向量為.
          ∴，∴二面角的大小是.……8′
          （Ⅲ）設到面的距離為，則，∴到面的距離為.…12′
          19．（本小題滿分12分）
          已知函數(shù).
          （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
          （Ⅱ）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；
          （Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有
          .
          【解】（Ⅰ）
          ∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.
          極大值為，極小值為.…………4′
          （Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時，的最大值為.
          ∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8′
          （Ⅲ）設
          則.
          ∴當時，，故在上是減函數(shù)，
          又當、、、是正實數(shù)時，
          ∴.
          由的單調(diào)性有：，
          即.…………12′
           
          20．（本小題滿分13分）
          如圖，已知曲線與拋物線的交點分別為、，曲線和拋物線在點處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.
          （Ⅰ）當為定值時，求證為定值（與無關），并求出這個定值；
          （Ⅱ）若直線與軸的交點為，當取得最小值時，求曲線和的方程。
          【解】（Ⅰ）設點的坐標為，
          由得：
          則，∴…………2′
          由得，∴ …………4′
          ∴
          又∵，，∴.
          ∴
		
          

          

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