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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（三）

§3. 數(shù) 列  知識要點(diǎn)

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義

遞推公式

；

；

通項(xiàng)公式

（）

中項(xiàng)

（）

（）

前項(xiàng)和

重要性質(zhì)

1. ⑴等差、等比數(shù)列：

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①

②2()

③(為常數(shù)).

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①

②(，)^①

注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.

ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii. →為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv. 且→為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac＞0，則等比中項(xiàng)一定有兩個.

③(為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：

[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差{}前n項(xiàng)和  →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件. 

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2. ①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k²倍；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，

 .     

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =   

②   

③

[注]：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，…； 5，55，555，….

4. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題. 例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為. 其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過個月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.

5. 數(shù)列常見的幾種形式：

⑴（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程（對應(yīng)，x對應(yīng)），并設(shè)二根②若可設(shè)，若可設(shè)；③由初始值確定.

⑵（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：.

②選代法：

.

③用特征方程求解：.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：.

6. 幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和. 例如：

⑶兩個等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個數(shù)列的第一個相同項(xiàng)，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).