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2009屆湖北省黃岡市黃州區(qū)一中高考模擬卷

數(shù)學(xué)試題（理科）

命題人：楊安勝   審題人：童建輝

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

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二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.

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三、解答題:本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

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1．  C 【解析】∵，∴＝

.

說明：解答本題要深刻理解導(dǎo)數(shù)的定義,掌握概念形式,看似求極限,實(shí)則求導(dǎo)數(shù),如何在極限與導(dǎo)數(shù)之間建立起聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵，導(dǎo)數(shù)是特殊情況下的極限，這一基本常識容易被學(xué)生忽略，從中也體現(xiàn)出對學(xué)生基本素質(zhì)的考查.

2．C 【解析】，所以選C．

3.  【解析】３個男生先排成一排有種方法；女生甲和女生丙插在３個男生間及前后共四個位置中的兩個位置，有種方法；女生乙只能排在女生甲的左側(cè)或右側(cè)，有２種方法．由分步計算原理，共有種方法．（或）故選．

4.  【解析】

故選項.也可求解如下：

故選項.

5． 【解析】，由函數(shù)圖象的走向可知，單調(diào)性是先增后減再增，因此導(dǎo)函數(shù)的值應(yīng)該是隨由小到大，先正后負(fù)再為正，因此，從函數(shù)圖象可以確定函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，易知方程有相異號的兩個實(shí)數(shù)根且負(fù)根的絕對值大，由根與系數(shù)的關(guān)系可判定，故選B.

說明：本題難度較大，綜合性強(qiáng)，如何從圖中得出極值點(diǎn)及單調(diào)性的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，同時又要運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題，對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系也進(jìn)行了考查.由單調(diào)性得開口方向,由極值點(diǎn)得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,從中也體現(xiàn)出對學(xué)生的思維品質(zhì)有較高的要求

6．D【解析】在點(diǎn)（0，一1）處目標(biāo)函數(shù)取得最大值為9，故選D．

7． A【解析】因?yàn)?sub>中的三邊a,b,c成等比數(shù)列，所以,根據(jù)余弦定理得：由此得 ，又，所以A+C=180。但由卻不能推出a,b,c成等比數(shù)列.故選擇A。

【所猜考點(diǎn)】余弦定理、三角形內(nèi)角和、等比數(shù)列概念、基本不等式、充要條件等考點(diǎn)。在考綱中對以上知識點(diǎn)的考查都有明確的要求。

【猜題理由】此題可作為高考選擇題中的中檔題，試題考查多個知識點(diǎn)的綜合性。主要考查三角形的邊角之間的關(guān)系，同時又以等比數(shù)列和充要條件這兩個知識點(diǎn)為依托。試題基礎(chǔ)知識點(diǎn)多，對考生的要求較高，因此這是立意新穎，且質(zhì)量較高的選擇題。近幾年高考題選擇題的難度不太大，所考查的都是比較基礎(chǔ)的知識點(diǎn)，但所考的知識點(diǎn)并不單一。大多情況在知識交匯處命題，例如充要條件的判斷往往與其他知識點(diǎn)結(jié)合一起進(jìn)行考查。數(shù)學(xué)教學(xué)要抓基礎(chǔ)知識點(diǎn)，同時要將一些基礎(chǔ)知識點(diǎn)有機(jī)地整合形成具有綜合性的問題，提高學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決綜合性問題的能力。單一的知識不利于學(xué)生綜合能力的提升。

8． 【解析】設(shè)球的半徑為， 為正方形中心,在直角三角形中

有在直角三角形中有:

兩式聯(lián)立解得,故球的表面積為,故選B

9．A 【解析】如右圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀,y₀),

由拋物線以F₂為頂點(diǎn),F₁為焦點(diǎn),可得其準(zhǔn)線的方

程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF₁|＝|PR|＝3c－x₀,

又由點(diǎn)P為雙曲線上的點(diǎn),根據(jù)雙曲線的第二定義可得

＝e, 即得|PF₂|＝ex₀－a,

由已知a|PF₂|＋c|PF₁|＝8a²，可得－a²＋3c²＝8a²,即e²＝3,

由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.

說明：本題難度中等偏難，且很有新意，一般地說，學(xué)生在處理圓錐曲線問題時，習(xí)慣于單一的思維，當(dāng)需要同時考慮兩條(或兩條以上)圓錐曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用時，往往有些不知所措，從中也體現(xiàn)出對學(xué)生的思維品質(zhì)有較高的要求。

10．D 【解析】 為的邊上一點(diǎn)，由，所以=.

【猜題理由】向量共線在三角形中體現(xiàn)，三角形面積公式，以及基本不等式，代數(shù)式的最值問題都是高考的常考點(diǎn)，幾乎每年的高考題中都考這些知識點(diǎn)。2009年的考綱對此有明確要求。本題將這些考點(diǎn)聯(lián)合在一起，很有創(chuàng)意。既考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，同時能檢測學(xué)生綜合運(yùn)用這些基本知識解決問題的能力。可作為高考中高檔選擇題出現(xiàn)。

【構(gòu)思點(diǎn)撥】向量的加減運(yùn)算及幾何意義，向量平行的判斷是新高考的重要內(nèi)容，高考復(fù)習(xí)時要重視訓(xùn)練。

11.

12. 【解析】

      

       ．

其展開式中含的項是：，系數(shù)等于．

13.【解析】 ≥1,得k≤6.

所以當(dāng)k≤6時，P(ξ=k+1)≥P(ξ=k),當(dāng)k＞6時，P(ξ=k+1)＜P(ξ=k),其中k=6時，P(ξ=k+1)=P(ξ=k),從而k=6或7時，P(ξ=k)取得最大值.

14.    15. ③

16. 【解析】（Ⅰ）銳角△ABC中，由∥得:，

由正弦定理得：　　    ……１分

　　  ……２分

△ABC是銳角三角形，，　　 ……３分

，，　　                    ……４分

，角　　……５分

由余弦定理得

　　　……6分

，，，　……７分

 ，　……８分

，即，，

邊長的取值范圍是．　　……９分

另解提示:對，用余弦定理換去和，仍可得．

（Ⅱ）當(dāng)時，　　……１０分

　　……１１分

，邊長的取值為．　　……１２分

17. 【解析】（Ⅰ）設(shè)記事件A為此次射擊降雨成功，則

5次射擊均未射中積云的概率為;   　…… ２分

5次射擊中恰有一次射中積云的概率為 　…… 4分

 　…… 6分

(Ⅱ)的所有可能取值為2，3，4，5，　

 …… 7分

 …… 8分

的分布列為：    2      3      4     5

P                         …… 10分

            …… 11分

18．證明： （Ⅰ）∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD．∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．  …… 3分

 

（Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，設(shè)平面ABC∩平面CDE＝l，則l∥AB．即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線l．

∵AB^平面ADC，∴l(xiāng)^平面ADC．∴l(xiāng)^AC，l^DC．∴ÐACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．…… 7分

（Ⅱ）解法二：如圖，以F為原點(diǎn)，過F平行于DE的直線為x軸，F(xiàn)C，F(xiàn)A所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，設(shè)AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)，((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，設(shè)平面ABC的一個法向量為n＝(a，b，c)，則由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，則n＝(0，，1)．∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為((FA＝(0，0，)．

cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．

∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．…… 7分

（Ⅲ）解法一：設(shè)AB＝x，則x＞0．∵AB^平面ACD，∴AB^CD．又∵AF^CD，ABÌ平面ABF，AFÌ平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD^平面ABF．∵CDÌ平面BCD，∴平面ABF^平面BCD．連BF，過A作AH^BF，垂足為H，則AH^平面BCD．線段AH的長即為點(diǎn)A到平面BCD的距離．在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，∴BF＝，AH＝＝∈(0，)．…… 12分

（Ⅲ）解法二：設(shè)AB＝x，∵AC＝CD＝DA＝2，AB^平面ACD．∴V_B－ADC＝×S_△ADC×BA＝××2²×x＝x．

∵BC＝BD＝，CD＝2，∴S_△BCD＝×2×＝，設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d，則V_A－BCD＝×S_△BCD×d＝．∵V_B－ADC＝V_A－BCD．∴x＝，解得d＝∈(0，)． …… 12分

19．（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)， 則點(diǎn)為。-------------------1分

，而為，則有

則有，所以            --------------------2分

又因?yàn)?sub>

所以                            ---------------------3分

所以橢圓方程為：                      ---------------------4分

（Ⅱ）由（1）知,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則

的周長為，則（為三角形內(nèi)切圓半徑），當(dāng)的面積最大時，其內(nèi)切圓面積最大。                       --------------------5分

設(shè)直線方程為：，，則

 -----------------7分

所以  ----------------9分

令，則，所以，而在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，的面積最大值為3，結(jié)合，得的最大值為  ----------------12分

20．【解析】（Ⅰ），……… 2分

由，得．

，，．

又．

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為．… 6分  

（Ⅱ）【法一】不等式，即為．……………（※）

令，當(dāng)時，．

則不等式（※）即為．                       …9分

令，，

在的表達(dá)式中，當(dāng)時，，

又時，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

在時，取得最大，最大值為．            ……12分

因此，對一切正整數(shù)，當(dāng)時，取得最大值．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．                    …………… 13分

【法二】不等式，即為．………………（※）

設(shè)，

，

令，得或．                             ………… 10分

當(dāng)時，，當(dāng)時，．

當(dāng)時，取得最大值．

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．                    ………… 13分

 

21. 【解析】(Ⅰ)對一切有

，

即  ,   

  ()                           …………  2分

由及兩式相減,得:

 

∴是等差數(shù)列,且, .                     …………  5分

說明:本小題也可以運(yùn)用先猜后證(數(shù)學(xué)歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得2分,經(jīng)證明給5分.

(Ⅱ)假設(shè)存在整數(shù)，使得對任意 ，都有．

∵     ∴

     ∴

∴ ⑤

當(dāng)（）時，⑤式即為  ⑥

依題意，⑥式對都成立，∴λ<1               ………… 7分

當(dāng)（）時，⑤式即為  ⑦

依題意，⑦式對都成立，∴           ………… 9分

∴∴存在整數(shù)，使得對任意，都有 …10分

 

（Ⅲ） 由,

知,

因此,只需證明.                         …………11分

當(dāng)或時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)時,