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11.3.2 一次函數(shù)與一元一次不等式

知識庫

    1．解一元一次不等式可以看作是:當一次函數(shù)值大于（或小于）0時，求自變量相應的取值范圍．

    2．解關于x的不等式kx+b>mx+n可以轉(zhuǎn)化為：

    （1）當自變量x取何值時，直線y=（k-m）x+b-n上的點在x軸的上方．

    或（2）求當x取何值時，直線y=kx+b上的點在直線y=mx+n上相應的點的上方．（不等號為“<”時是同樣的道理）

魔法師

    例：用畫圖象的方法解不等式2x+1>3x+4

    分析：（1）可將不等式化為-x-3>0，作出直線y=-x-3，然后觀察：自變量x取何值時，圖象上的點在x軸上方？

    或（2）畫出直線y=2x+1與y=3x+4，然后觀察：對于哪些x的值，直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應的點的上方？

    解：方法（1）原不等式為：-x-3>0，在直角坐標系中畫出函數(shù)y=-x-3的圖象（圖1）．從圖象可以看出，當x<-3時這條直線上的點在x軸上方，即這時y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．

    方法（2）  把原不等式的兩邊看著是兩個一次函數(shù)，在同一坐標系中畫出直線y=2x+1與y=3x+4（圖2），從圖象上可以看出它們的交點的橫坐標是x=-3，因此當x<-3時，對于同一個x的值，直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應點的上方，此時有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．

                   (1)                            (2)

演兵場

    ☆我能選

1．直線y=x-1上的點在x軸上方時對應的自變量的范圍是（  ）

    A．x>1      B．x≥1      C．x<1      D．x≤1

2．已知直線y=2x+k與x軸的交點為（-2，0），則關于x的不等式2x+k<0的解集是（  ）

    A．x>-2      B．x≥-2      C．x<-2      D．x≤-2

3．已知關于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，則直線y=ax+1與x軸的交點是（  ）

    A．（0，1）      B．（-1，0）     C．（0，-1）      D．（1，0）

    ☆我能填

4．當自變量x的值滿足____________時，直線y=-x+2上的點在x軸下方．

5．已知直線y=x-2與y=-x+2相交于點（2，0），則不等式x-2≥-x+2的解集是________．

6．直線y=-3x-3與x軸的交點坐標是________，則不等式-3x+9>12的解集是________．

7．已知關于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，則直線y=-kx+2與x軸的交點是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，則直線y=-x+5與y=3x-3的交點坐標是_________．

    ☆我能答

9．某單位需要用車，準備和一個體車主或一國有出租公司其中的一家簽訂合同，設汽車每月行駛xkm，應付給個體車主的月租費是y元，付給出租車公司的月租費是y元，y，y分別與x之間的函數(shù)關系圖象是如圖11-3-4所示的兩條直線，觀察圖象，回答下列問題：

    （1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租國有出租車公司的出租車合算？

    （2）每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？

（3）如果這個單位估計每月行駛的路程為2300km，那么這個單位租哪家的車合算？

10．在同一坐標系中畫出一次函數(shù)y₁=-x+1與y₂=2x-2的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：

    （1）寫出直線y₁=-x+1與y₂=2x-2的交點P的坐標．

    （2）直接寫出：當x取何值時y₁>y₂；y₁<y₂

    探究園

12．已知函數(shù)y₁=kx-2和y₂=-3x+b相交于點A（2，-1）

    （1）求k、b的值，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象．

    （2）利用圖象求出：當x取何值時有：①y₁<y₂；②y₁≥y₂

    （3）利用圖象求出：當x取何值時有：①y₁<0且y₂<0；②y₁>0且y₂<0

答案:

1．A  2．C  3．D  4．x>2  5．x≥2  6．（-1，0）；x<-1

7．（-3，0）  8．（2，3）

9．①當0<x<1500時，租國有出租車公司的出租車合算；

    ②1500km；③租個體車主的車合算

10．①P（1，0）；②當x<1時y₁>y₂，當x>1時y₁<y₂

11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5  圖象略；

    （2）從圖象可以看出：①當x<2時y₁<y₂；②當x≥2時y₁≥y₂；

（3）∵直線y₁=x-2與x軸的交點為B（4，0），

直線y₂=-3x+5與x軸的交點為C（，0），

∴從圖象上可以看出：

①當x<4時y₁<0，當x>時y₂<0，

所以當<x<4時，y₁<0且y₂<0．

②當x>4時，y₁>0；當x>時y₂<0，

∴當x>4時y₁>0且y₂<0．