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          海
淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
          數(shù)  學(xué)（理科）            
2009.1
          學(xué)校          
     班級(jí)         
     姓名          

           
          題號(hào)
          一
          二
          三
          總分
          （15）
          （16）
          （17）
          （18）
          （19）
          （20）
          分?jǐn)?shù)
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          一、選擇題：本題大共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符
          （1）已知全集U，，那么下列結(jié)論中可能不成立的是                                   (   )
          

          試題詳情
          

          （A）A∩B=A    （B）A∪B=B   (C)(    )∩B≠   (D)(    )∩A=
          （2）拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程是                                                                                (   )
          

          試題詳情
          

               (A)y =       (B) y =       (C) y=          
(D) y =
          

          試題詳情
          

          （3）將函數(shù)y=cos2x的圖象按向量a=(，1)平移后得到函數(shù)f(x)的圖象，那么  (   )
          

          試題詳情
          

               (A)            (B) 
          

          試題詳情
          

               (C)              (D) 
          

          試題詳情
          

          （4）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果c=，B=30°那么角C等于
                                                                                                                                               (   )
               (A)120°            (B)105°         
(C)90°             
(D)75°
          

          試題詳情
          

          （5）位于北緯x度的A、B兩地經(jīng)度相差90°，且A、B兩地間的球面距離為R(R為地球半徑)，那么x等于                                                                                            (   )
               (A)30             (B)45           
(C)60            
(D)75
          

          試題詳情
          

          （6）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意的xR滿足f(x+1)=,且=1,那么f(62)等于                                         (   )
                (A)9個(gè)         
(B)62           
(C)64            
(D)83
          

          試題詳情
          

          （7）已知，{1，2，3，4，5}，那么使得?cos＜0的數(shù)對(duì)(，)共有   (   )
               (A)9個(gè)          (B)11個(gè)         
(C)12個(gè)         
(D)13個(gè)
          

          試題詳情
          

          （8）如果對(duì)于空間任意n（n≥2）條直線總存在一個(gè)平面，使得n條直線與平面所成的角均相等，那么這樣的n                                                                                       (   )
                  (A)最大值為3   　(B)最大值為4      (C)最大值為5      (D)不存在最大值
          

          試題詳情
          

          二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
          （9）=              
.
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          （10）如果f (x) =     
那么f [f(2)]=              ；不等式f(2x-1) ≥的解集是
           
                           
  .
          （11）已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該雙曲線上一點(diǎn)，若△PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為              
.
          

          試題詳情
          

          （12）若實(shí)數(shù)x、y滿足  且z=2x+y的最小值為3，則實(shí)數(shù)b的值為
           
                   
.
          （13）已知直線x+y+m=0與圓x2 + y2=2交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
          

          試題詳情
          

          ≥      那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是         
.
          

          試題詳情
          

          （14）已知:對(duì)于給定的N*，及映射f：AB，N*，若集合A，且C中所有元素對(duì)應(yīng)的象之和大于或等于q，則稱C為集合A的好子集.
          

          試題詳情
          

                 ①對(duì)于q=2，A={a，b，c}，映射f:x1，xA,那么集合A的所有好子集的個(gè)數(shù)為               
.
          

          試題詳情
          

          ②對(duì)于給定的q，A={1，2，3，4，5，6，π}映射f :AB的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
          x
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          π
          f(x)
          1
          1
          1
          1
          1
          y
          z
          若當(dāng)且僅當(dāng)C中含有π和至少A中2個(gè)整數(shù)或者C中至少含有A中5個(gè)整數(shù)時(shí)，C為集合A的好子集.寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)組(q，y，z)：           
.
           
           
          (15)（本小題共12分）
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
             
  已知函數(shù)f(x)=sin2x+2（x+）cos(x-)-cos2x.
          (Ⅰ)求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
          

          試題詳情
          

          (Ⅱ)求函數(shù)f (x)在 上的最大值和最小值并指出此時(shí)相應(yīng)的x的值.
          （16）（本小題共12分）
          已知函數(shù)g(x)是f (x)=x2（x＞0）的反函數(shù)，點(diǎn)M（x0，y0）、N(y0，x0)分別是f(x)、g(x)圖象上的點(diǎn)，l1、l2分別是函數(shù)f(x)、g(x)的圖象在M、N兩點(diǎn)處的切線，且l1∥l2。
          （Ⅰ）求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
          （Ⅱ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、M、N的圓的方程（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）.
          (17)（本小題共14分）
          

          試題詳情
          

          如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1
 C1中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA1=.
          （Ⅰ）求證：BC1∥平面A1DC；
          （Ⅱ）求C1到平面A1DC的距離；
          （Ⅲ）求二面角D-A1C-A的大小.
          （18）（本小題共14分）
                    
某種家用電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器的無(wú)故障使用時(shí)間T(單位：年)有關(guān).若T≤1，則銷售利潤(rùn)為0元；若1＜T≤3，則銷售利潤(rùn)為100元；若T＞3，則銷售利潤(rùn)為200元.設(shè)每臺(tái)該種電器的無(wú)故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3及T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為P1，P2，P3，又知P1，P2是方程25x2-15x +a=0的兩個(gè)根，且P2= P3.
          （Ⅰ）求P1，P2，P3的值；
          （Ⅱ）記ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，求ξ的分布列；
          （Ⅲ）求銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和的平均值.
          （19）（本小題共14分）
          

          試題詳情
          

          已知點(diǎn)A(0，1)、B（0，-1），P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為.
          (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
          

          試題詳情
          

          (Ⅱ)設(shè)Q（2，0），過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，△QMN的面積記為S，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式S≤tanMQN恒成立，求的最小值.
          （20）（本小題共14分）
          

          試題詳情
          

          如果正數(shù)數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)n0，使得an0＞M，則稱數(shù)列{an}是一個(gè)無(wú)界正數(shù)列.
          (Ⅰ)若an=3+2sin(n)（n=1，2，3，…），bn=           
分別判斷數(shù)列{an}、
           
          {bn}是否為無(wú)界正數(shù)列，并說(shuō)明理由；
          

          試題詳情
          

          (Ⅱ)若an = n+2，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于一切n≥k，有…＜
          成立；
          (Ⅲ)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的無(wú)界正數(shù)列，求證:存在正整數(shù)m，使得
          

          試題詳情
          

          …＜m-2009.
           
           
          海
淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
          數(shù)  學(xué)（理科）
          

          試題詳情
          

           
          一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）
          題號(hào)
          （1）
          （2）
          （3）
          （4）
          （5）
          （6）
          （7）
          （8）
          答案
          C
          A
          B
          A
          B
          D
          D
          A
          二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）
          （9）1　　            
（10）1，［0，1］                （11）
          （12）              
（13）（-2，］∪［，2)    
（14）4，（5，1，3）
          三、解答題（本大題共6小題,共80分）
          （15）（本小題共12分）
                解：（Ⅰ）f
(x)=sin2x+2
          ………………………………………2分
          =
          =2sin(2x)………………………………………………………14分
                  
所以T==.……………………………………………………………………5分
              由+≤2x-≤+(kZ)得
                 +≤x≤kπ+(kZ).…………………………………………………7分
          所以函數(shù)f (x)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為［，］（kZ）.
          (Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=2sin(2x-).
              因?yàn)閤，，
              所以.…………………………………………………………8分
          因?yàn)閟in()=sin＜sin，
          所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f (x)取得最小值-；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值2.………………………………………………………………………………12分
          （16）（本小題共12分）
          解：（Ⅰ）因?yàn)閒 (x)=x2(x＞0)，所以g(x)=（x＞0）.
                    從而f ′(x)=2x，g′(x)=.…………………………………………3分
          所以切線l1，l2的斜率分別為k1=f′(x0)=2x0，k2= g′(y0)= .
          又y0=( x0＞0)，所以k2=.………………………………………4分
          因?yàn)閮汕芯�l1，l2平行，所以k1= k2.
…………………………………5分
          從而(2x0)2 =1.
          因?yàn)閤0＞0.
          所以x0=
          所以M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，（，）.………………7分
                  
（Ⅱ）設(shè)過(guò)O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
                         因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以F =0.因?yàn)镸、N關(guān)于直線y =x對(duì)稱，所以圓心在直線y=x
          上.
          所以D =E.………………………………………………………………………10分
          又因?yàn)镸 (，)在圓上，
          所以D =E =.
          所以過(guò)O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x2+ y2 .………12分
          （17）（本小題共14分）
          （Ⅰ）證明:連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)G，連結(jié)DG.
          在正三棱柱ABC- A1B1 C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，
          ∴AG=GC1.
          ∵AD=DB，
          ∴DG∥BC1.………………………2分
          ∵DG平面A1DC，BC1平面A1DC，
          ∴BC1∥平面A1DC.…………………4分
          解法一：(Ⅱ)連結(jié)DC1，設(shè)C1到平面A1DC的距
          離為h.
          ∵四邊形ACC1A1是平行四邊形，
          ∴S△= S△.
          ∴V=V.
          ∵S△ACD?AA1=，
          ∴=.…………………………………………………………………………6分
          在等邊三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，
          ∴CD =，CD⊥AB.
          ∵AD是A1D在平面ABC內(nèi)的射影，
          ∴CD⊥A1D.……………………………………………………………………………8分
          ∴S△=…………………………………………………………………9分
          ∴h=………………………………………………………………………9分
          (Ⅲ)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥A1C交A1C于F，連結(jié)EF.
          ∵平面ABC⊥平面ACC1A1，DE平面ABC，
          平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
          ∴DE⊥平面ACC1A1.
          ∴EF是DF在平面ACC1A1內(nèi)的射影.
          ∴EF⊥A1C.
               
∴∠DEF是二面角D-A1C-A的平面角.
                 ……………………………………12分
          在直角三角形ADC中，DE ==.
          同理可求：DF=
          ∴sinDEF=.
          ∵∠DEF，
          ∴∠DFE=arcsin.………………………………………………………………14分
          解法二：過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC交BC于O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC交B1C1于E.因?yàn)槠矫?/p>
          ABC⊥平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1.分別以CB、OE、OA所在的直線為x
          軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)锽C=1，AA1=，△ABC是等
          邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn).則
          O(0，0，0)，，，
          ，，
          C1………………6分
          (Ⅱ)設(shè)平面A1DC的法向量為n=(x，y，z)，
          則
           
          ∵=(，0，)，=（，，），
          ∴
          取x =，得平面A1DC的一個(gè)法向量為n =(，1，-3).………………………………8分
          ∴C1到平面A1DC的距離為：     =.…………………………………10分
          （Ⅲ）同(Ⅱ)可求平面ACA1的一個(gè)法向量為n1=(，0，-1).………………………12分
                設(shè)二面角D-A1C-A的大小為θ，則cosθ=cos＜n，n1＞==.
                 ∵(0，π)，
                 ∴=arccos.…………………………………………………………………14分（18）（本小題共14分）
          解（Ⅰ）由已知得P1+P2+P3=1.
                  ∵P2=P3，∴P1+2P2=1.
          ∵P1，P2是方程25x2-15x +a=0的兩個(gè)根，
          ∴P1+P2 =.
          ∴P1=，P2=P3=.…………………………………………………………3分
          （Ⅱ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400.…………………………………4分
                P(ξ=0) =×=，
               
P(ξ=100) =2××=，
          P(ξ=200) =2××+×=，
          P(ξ=300) =2××=，
          P(ξ=400) = ×=.……………………………………………………9分
          隨機(jī)變量ξ的分布列為：
          ξ
          0
          100
          200
          300
          400
          P
          （Ⅲ）銷售利潤(rùn)總和的平均值為………………………………………………………11分
          Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240.
          ∴銷售兩臺(tái)這種家用電器的利潤(rùn)總和的平均值為240元.……………………14分
          注：只求出Eξ，沒(méi)有說(shuō)明平均值為240元，扣1分.
          （19）（本小題共14分）
          解：(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則直線PA，PB的斜率分別是，.
                  由條件得?=.………………………………………………3分
             
即+y2 =1（x≠0）.
                  
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為+y2 =1(x≠0).………………………5分
             
注：無(wú)x≠0扣1分.
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).
             當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x1= x2= -1，y1=-y2，=.
          所以=（x1-2，y1）=(-3，y1)，=（x2-2，y2）=（-3，-y1）.
          所以?=9-=.…………………………………………………7分
          當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，
          由 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
          所以x1+x2=，x1x2=.………………………………………9分
          所以?=（x1-2）(x2-2)+y1y2= x1x2-2(x1+x2) +4+y1y2.
          因?yàn)閥1=k (x1+1)，y2=（x2+1），
          所以?=(k2 +1)x1x2+（k2-2）(x1+x2)+k2+4=-＜.
          綜上所述?的最大值是.……………………………………11分
           
          因?yàn)镾≤tanMQN恒成立，
          即||?||sinMQN≤恒成立.
          由于?=＞0.
          所以cosMQN＞0.
          所以?≤2恒成立.……………………………………………13分
          所以的最小值為.……………………………………………………14分
          注：沒(méi)有判斷∠MQN為銳角，扣1分.
          （20）（本小題共14分）
          解：（Ⅰ）{an}不是無(wú)界正數(shù)列，理由如下：………………………………………1分
          取M=5，顯然an=3+2sin(n)
≤5，不存在正整數(shù)n0滿足＞5；………………2分
          {bn}是無(wú)界正數(shù)列.理由如下：………………………………………………………3分
          對(duì)任意的正數(shù)M，取n0為大于2M的一個(gè)偶數(shù)，有＞＞M，所以
                 {bn}是無(wú)界正數(shù)列.…………………………………………………………………4分
               （Ⅱ）存在滿足題意的正整數(shù)k.理由如下： 
          當(dāng)n≥3時(shí)，
          因?yàn)?sub>
          =≥＞，
          即取k=3，對(duì)于一切n≥k，有＜n成立.………………9分
          注:k取大于或等于3的整數(shù)即可.
              （Ⅲ）證明：因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增的正數(shù)列，
          所以
          ＞
          即＜n-1+.
          因?yàn)閧an}是無(wú)界正數(shù)列，取M =2a1，由定義知存在正整數(shù)n1，使＞2a1，
          所以＜n1.
          由定義可知{an}是無(wú)窮數(shù)列，考察數(shù)列，，，…，顯然這仍是一個(gè)單調(diào)遞增的無(wú)界正數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)n2，使得
          ＜（n2-n1）.
          重復(fù)上述操作，直到確定相應(yīng)的正整數(shù)n4018.
          則＜
          =-2009.
          即存在正整數(shù)m=，使得＜m-2009成立.
          …………………………………………………………………………………14分
           
          說(shuō)明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.
           
          
				
          
	
          
		
          


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