高2009級一診模擬(理科)數(shù)學(xué)試題
一．選擇題：（每小題5分，共60分）
1.設(shè)
，且
，若
，則實(shí)數(shù)
的值為
2.等差數(shù)列｛
｝中，若
＋
＋
＋
＋
＝120，則
－
的值是
A．14 B．
3.已知向量
，其中
、
均為非零向量，則
的取值范圍是
A．
B。
C。
D。
4.編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是
A 10種 B 20種 C 30種 D 60種
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為.
A.
1
B.
6.已知數(shù)列
是由正數(shù)組成的數(shù)列，
，且滿足
，其中
，則
等于
A. -1
B. 
D. 
7.一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為
，得2分的概率為
，不得分的概率為
（、、
），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則
的最大值為
A．
B．
C．
D．
8.在長方體ABCD-A1B
A．
B. 
C. 
D. 
9.設(shè)函數(shù)
的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是
A．
B．
C．
D．
10.如圖在正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE,且AC=1，則正三棱錐A-BCD的外接球的體積是
11.已知函數(shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1），則
的值域?yàn)?/p>
A．[2，5] B．[1，+
] C．[2，10] D．[2，13]
12.定義在R上的函數(shù)
滿足
．
為的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)
的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)
滿足
，則
的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
二．填空題：（每小題4分，共16分）
13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)
時，
，且
，則實(shí)數(shù)
=__________.
14.設(shè)
，函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)是
，且是奇函數(shù) . 若曲線
的一條切線的斜率是
，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.
15.設(shè)函數(shù)
，
，數(shù)列
滿足
，則數(shù)列的通項等于
.
16.下列命題：
① 函數(shù)
的最小正周期是
；
②函數(shù)
的圖像的對稱中心是
；
③ 函數(shù)
的遞減區(qū)間是[
；
④ 函數(shù)
的圖像可由函數(shù)
的圖像按向量
平移得到。其中正確的命題序號是 。
13
14
15
16
三．解答題：
17.（12分）已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
且
的夾角為
，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求
的最小值。
18. （12分）奧運(yùn)會乒乓球比賽將產(chǎn)生男子單打、女子單打、男子團(tuán)體、女子團(tuán)體共四枚金牌，保守估計中國乒乓球男隊獲得每枚金牌的概率均為
，中國乒乓球女隊獲得一枚金牌的概率均為
。
（I）求按此估計中國乒乓球女隊比中國乒乓球男隊多獲得一枚金牌的概率；
（II）記中國乒乓球隊獲得金牌的數(shù)為
，按此估計的分布列和數(shù)學(xué)期望
。
19. （12分）已知斜三棱柱
,
,
,
在底面
上的射影恰為
的中點(diǎn)
,又知
.
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ)求
到平面
的距離；
(Ⅲ)求二面角
的大小.
20. （12分）已知數(shù)列中，
（1）求證：數(shù)列
與
都是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列前
的和
；
（3）若數(shù)列前的和為，不等式
對
恒成立，求
的最大值。
21. （12分）已知函數(shù)
（I）求f(x)在[0，1]上的極值；
（II）若對任意
成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（III）若關(guān)于x的方程
在[0，1]上恰有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
22. （14分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
，且同時滿足：對任意
，總有
，
； 若
，
且
，則有
．
（I）求
的值；
（II）試求的最大值；
（III）設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
，
求證：
．
高2009級一診模擬(理科)數(shù)學(xué)試題參考解答
一．選擇題：
1.B.
3.D.
4.B.坐法有
6. A.
7.D. 由已知得
即
8.C.
二．填空題：
16. ②③.①
不正確；
②
③
④應(yīng)按
平移，所以不正確.
三．解答題：
17.解（Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角
……………………6分
（Ⅱ）
……………………9分
有最小值。
的最小值是
……………………12分
18.（1）設(shè)中國乒乓球男隊獲0枚金牌，女隊獲1枚金牌為事件
，中國乒乓球男隊獲1枚金牌，女隊獲2枚金牌為事件
，那么，
=
=
（2）根據(jù)題意中國乒乓球隊獲得金牌數(shù)是一隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0，1，2，3，4（單位：枚）
那么
……………………………………………………(8分)
則概率分布為：
0
1
2
3
4
…………………………………………………………………(10分)
那么，所獲金牌的數(shù)學(xué)期望
（枚）
答：中國乒乓球隊獲得金牌數(shù)的期望為
枚�！�.(12分)
19. 解法
：(Ⅰ)∵
平面,∴平面
平面,
又
,∴
平面
, 得
,又,
∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵
,四邊形為菱形,故
,
又為
中點(diǎn),知∴
.取
中點(diǎn)
,則
平面
,從而面
面,…………6分
過
作
于
,則
面,在
中,
,故
,即到平面的距離為.…………………8分
(Ⅲ)過作
于
,連
,則
,從而
為二面角的平面角,在
中,
,∴
,…………10分
在
中,
,故二面角的大小為
.
…………………12分
解法
：(Ⅰ)如圖,取
的中點(diǎn)
,則
,∵,∴
,
又平面,以
為
軸建立空間坐標(biāo)系, …………1分
則
,
,
,
,
,
,
,
,由
,知
,
又,從而平面.…………………4分
(Ⅱ)由
,得
.設(shè)平面的法向量
為
,
,
,
,
設(shè)
,則
.…………6分
∴點(diǎn)
到平面的距離
.…………………8分
(Ⅲ)設(shè)面的法向量為
,
,,
∴
.…………10分
設(shè)
,則
,故
,根據(jù)法向量的方向
可知二面角的大小為
.…………………12分
20. 解：（1）∵
，∴
2分
∴數(shù)列
是以1為首項，
為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列
是以為首項，為公比的等比數(shù)列。 4分
（2）
9分
（3）
當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號，所以
，即
，∴的最大值為－48 12分
21. 解：（I）
，
令
（舍去）
單調(diào)遞增；
當(dāng)
單調(diào)遞減.
上的極大值
（II）由
得
， …………①
設(shè)
，
，
依題意知
上恒成立，
，
，
上單增，要使不等式①成立，
當(dāng)且僅當(dāng)
（III）由
令
，
當(dāng)
上遞增；
當(dāng)
上遞減
而
，
恰有兩個不同實(shí)根等價于
22.解：（1）令
，則
，又由題意，有
…………………3分
（2）任取 且
，則0<
的最大值為
…………………6分
（3）由
又由
數(shù)列為首項為1，公比為
的等比數(shù)列， 
………8分
當(dāng)
時，
，不等式成立，
當(dāng)
時，
， 
不等式成立
假設(shè)
時，不等式成立。
即 
則 當(dāng)
時，
即 時，不等式成立
故
對
，原不等式成立。
……………14分
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