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1.  M 是三角形ABC的邊AB上的任何一點，r、r₁、r₂ 分別是三角形ABC、AMC、BMC的內(nèi)切圓的半徑，q 是AB外旁切圓的半徑（即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓），類似的， q₁、q₂分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證： r₁r₂q = rq₁q_2。

2.  已知0 ≤ x_i < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 x_n > 0, x_n-1 > 0。如果 a>b，x_nx_n-1...x₀ 是數(shù)A在a進(jìn)制下的表示、也是B在b進(jìn)制下的表示，則 x_n-1x_n-2...x₀ 表示了 A'在a進(jìn)制下的表示、B'在b進(jìn)制下的表示。求證：A'B<AB'。

3.  實數(shù) a₀, a₁, a₂, ...滿足 1 = a₀ <= a₁ <= a₂ <= ...，并定義

 b_n =∑(1 - a_k-1/a_k)/√a_k

其中求和是k從1到n。

4.  試找出所有的正整數(shù) n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成兩個子集合，每個子集合的元素的乘積相等。

5.  四面體ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂線的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求證：

(AB + BC + CA)² ≤ 6(AD² + BD² + CD²).

并問何時等號成立？

6.  平面上給定100個點，無三點共線，求證：這些點構(gòu)成的三角形中至多70% 是銳角三角形。