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解析幾何的主要內(nèi)容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程考查的重點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率、點(diǎn)到直線的距離、兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、曲線與方程、圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用等，其中以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系最為重要。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，各地區(qū)在這一部分的出題情況較為相似，一般兩道小題一道大題，分值約占15%，即22分左右.具體分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)兩個(gè)容易或中檔小題，機(jī)動(dòng)靈活，考查雙基；解答題難度設(shè)置在中等或以上，一般都有較高的區(qū)分度，主要考查解析幾何的本質(zhì)――“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

1.直線的基本問(wèn)題：直線的方程幾種形式、直線的斜率、兩條直線平行與垂直的條件、兩直線交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離。

例  1   已知與，若兩直線平行，則的值為 ．

解析： ．

點(diǎn)評(píng)：解決兩直線平行問(wèn)題時(shí)要記住看看是不是重合．

易錯(cuò)指導(dǎo)：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗(yàn)兩直線是否重合是本題容易出錯(cuò)的地方。

例2 （08年高考廣東卷文6理11）經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是           ．

解析：圓心坐標(biāo)是，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即。

點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何初步的基本知識(shí)，涉及到求一般方程下的圓心坐標(biāo)，兩直線垂直的條件，直線的點(diǎn)斜式方程，題目簡(jiǎn)單，但交匯性很強(qiáng)，非常符合在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題的命題原則，一個(gè)小題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識(shí)考查的淋漓盡致。

易錯(cuò)指導(dǎo)：基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，如把圓心坐標(biāo)求錯(cuò)，不知道兩直線垂直的條件，或是運(yùn)算變形不細(xì)心，都可能導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

2.圓的基本問(wèn)題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、兩圓位置關(guān)系.

例3 （08高考山東卷理11）已知圓的方程為．設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（    ）

A．       B．       C．       D．

解析：圓心坐標(biāo)是，半徑是，圓心到點(diǎn)的距離為，根據(jù)題意最短弦和最長(zhǎng)弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長(zhǎng)為，所以四邊形的面積為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理、運(yùn)算求解等能力。解題的關(guān)鍵有二，一是通過(guò)推理知道兩條弦互相垂直并且有一條為圓的直徑，二是能根據(jù)根據(jù)面積分割的道理，推出這個(gè)四邊形的面積就是兩條對(duì)角線之積的一半。本題是一道以分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力立意設(shè)計(jì)的試題。

易錯(cuò)指導(dǎo)：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，或是運(yùn)算能力欠缺，運(yùn)算失誤，是本題不能解答或解答錯(cuò)誤的主要原因。

3.圓錐曲線的基本問(wèn)題：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，求簡(jiǎn)單的曲線方程.

例4（08年高考海南寧夏卷理11）已知點(diǎn)P在拋物線y² = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義，動(dòng)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)和拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是。

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的思想方法。類似的題目在過(guò)去的高考中比較常見(jiàn)。

易錯(cuò)指導(dǎo)：不能通過(guò)草圖和簡(jiǎn)單的計(jì)算確定點(diǎn)和拋物線的位置關(guān)系，不能將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到準(zhǔn)線的距離，是解錯(cuò)本題或不能解答本題的原因。

例5（08年高考山東卷文13）已知圓．以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為           ．

解析：  圓和軸的交點(diǎn)是，和軸沒(méi)有交點(diǎn)。故只能是點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，即；點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，即。，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓和雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。解題的關(guān)鍵是確定所求雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

易錯(cuò)指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)薄弱，求錯(cuò)圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用錯(cuò)雙曲線中的關(guān)系等，是不同出錯(cuò)的主要問(wèn)題。

4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

例6（08年高考山東卷文11）若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）

A．    B．

C．          D．

解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則且.又，故，由得（圓心在第一象限、舍去）或，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查坐標(biāo)法的思想，考查運(yùn)算能力。解題的關(guān)鍵是圓心坐標(biāo)。

易錯(cuò)指導(dǎo)：不能把直線與圓相切的幾何條件通過(guò)坐標(biāo)的思想轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，或是運(yùn)算求解失誤等。

例7 （2008年海南寧夏卷理14）過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_(kāi)_____________

解析：雙曲線右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的方程是，與雙曲線方程聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故△AFB的面積為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力。

易錯(cuò)指導(dǎo)：過(guò)右焦點(diǎn)和漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，如果寫錯(cuò)漸近線的方程，就會(huì)解出兩個(gè)交點(diǎn)，不但增加了運(yùn)算量，還使結(jié)果錯(cuò)誤。

例8 （08年高考江蘇12） 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做圓，若過(guò)點(diǎn)，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為     ▲    

解析：過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說(shuō)明四邊形是一個(gè)正方形，即圓心到點(diǎn)的距離等于圓的半徑的倍，即，故。

點(diǎn)評(píng)：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結(jié)合起來(lái)，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了“在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的原則，較全面地考查了解析幾何的基本知識(shí)。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)量上的關(guān)系。

易錯(cuò)指導(dǎo)：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法找到解題途徑等，是考生解錯(cuò)本題的主要原因。

例9（08年高考廣東卷理18文20）設(shè)，橢圓方程為，

拋物線方程為．如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，

與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

解析：（1）由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和拋物線方程的求法、拋物線的切線方程的求法、存在性問(wèn)題的解決方法、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是一道幾乎網(wǎng)羅了平面解析幾何的所有知識(shí)點(diǎn)并且和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯在一起的綜合性試題，是一道“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處”設(shè)計(jì)的典型試題。

易錯(cuò)指導(dǎo)：本題把拋物線和橢圓結(jié)合在一起，題目的條件里還有兩條直線，考生在心理上畏懼，可能出現(xiàn)的問(wèn)題是思維混亂，理不清題目中錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，找不到正確的解題思路；在解決第二問(wèn)時(shí)缺乏分類討論的思想意識(shí)產(chǎn)生漏解等

四 掃雷先鋒

易錯(cuò)點(diǎn)一、考慮不全面

例1 過(guò)（0，2）作直線，使與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？

錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得

因?yàn)?sub>與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得

此時(shí)的方程為   所以這樣的直線有一條。

剖析：（1）問(wèn)題之一，錯(cuò)解忽視了對(duì)斜率不存在這一情況的考慮，事實(shí)上，直線方程為x＝0時(shí)，是符合條件的。（2）問(wèn)題之二，得到方程后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，當(dāng)然就沒(méi)有什么判別式了，故需按k＝0及兩種情況考慮。

正解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得

（1）k＝0時(shí)，方程只有一個(gè)解y＝2，故為直線y＝2時(shí)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件；

（2）時(shí)，因?yàn)?sub>與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得解得

此時(shí)的方程為

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x＝0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足條件。

綜上，符合條件的直線有三條：x＝0，y＝2，

點(diǎn)評(píng)：忽視含參數(shù)系數(shù)的討論，以及設(shè)直線方程（為點(diǎn)斜式、斜截式、截距式等時(shí)，忽視對(duì)引入的參數(shù)（如斜率、截距等）的特殊情況的考慮是同學(xué)們?cè)谧鲱}中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，一定要注意。

易錯(cuò)點(diǎn)二：變形不等價(jià)

例2 直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是   （  ）

A．          B．或   C．   D．

錯(cuò)解：聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)橹本�與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程只有一解，所以,解得，所以選A.

剖析：本題中曲線并不是一個(gè)完整的圓而是半個(gè)圓（右半圓），而時(shí)，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，并不能保證直線與右半圓也只有一個(gè)公共點(diǎn)。

正解：作出曲線的圖形，如圖所示：

由圖形可得，當(dāng)直線在和之間變化時(shí)，滿足題意，同時(shí)，當(dāng)直線在的位置時(shí)也同時(shí)滿足題意，所以應(yīng)選（B）。

點(diǎn)評(píng)：曲線的表達(dá)式本身限制了的取值只是非負(fù)值，所以曲線只是圓的右半部分。若用代數(shù)方法處理，應(yīng)是方程組化為關(guān)于的方程后只有一個(gè)非負(fù)解，相比之下數(shù)形結(jié)合更簡(jiǎn)捷明快。

五 規(guī)律總結(jié)

1．兩直線的位置關(guān)系注意用斜率，平行或垂直關(guān)系可以用(要討論斜率不存在、斜率為0的情況)或用(其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，)．

２．直線與圓錐曲線位置關(guān)系：用聯(lián)立法，聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去 y (或x)，得到方程(或)，然后用判別式，判定直線與圓錐曲線相交(若是雙曲線或拋物線，要討論的系數(shù)為0的情況，此時(shí)直線與雙曲線或拋物線也是相交，只有一個(gè)交點(diǎn))，用判定直線與圓錐曲線相切，用判定直線與圓錐曲線相離；

３．弦長(zhǎng)問(wèn)題的處理：設(shè)出弦所在的直線方程，用聯(lián)立法，聯(lián)立弦所在直線方程與圓錐曲線方程，消去 y (或x)，得到一個(gè)一元二次方程(或)，根據(jù)需要，用判別式，設(shè)弦端點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)(或)(其中k為弦所在直線的斜率)．

４．過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題注意用圓錐曲線的定義做題．如拋物線，過(guò)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)為，則由拋物線定義，知．

５．點(diǎn)差法．涉及弦中點(diǎn)，弦所在直線的斜率問(wèn)題，用點(diǎn)差法．一旦涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，仍是用聯(lián)立法簡(jiǎn)單些．

６．涉及直線與圓錐曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，在聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程后，得到一個(gè)一元二次方程(若是雙曲線或拋物線，要討論的系數(shù)為0的情況)，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，把坐標(biāo)運(yùn)算配湊成，利用韋達(dá)定理，整體運(yùn)算，運(yùn)算中注意設(shè)而不求思想運(yùn)用，設(shè)出的點(diǎn)的坐標(biāo)，只是起到過(guò)渡作用，并不具體求出，而是整體運(yùn)算，直指目標(biāo)．

７．涉及圓錐曲線焦點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)首先考慮用圓錐曲線的定義解題．

８．求軌跡方程的主要方法有：直接法、定義法、坐標(biāo)代入法、變量代換法、交軌法等．

六 能力突破

例1    設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)(　)

Ａ．必在圓內(nèi)         Ｂ．必在圓上

Ｃ．必在圓外         Ｄ．以上三種情形都有可能

分析：從與2的關(guān)系入手，用含有a、b的式子表示進(jìn)而與已知條件聯(lián)系上

解：

，所以必在圓內(nèi)，選A.

反思：本題綜合了橢圓，一元二次方程，圓等知識(shí)，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的思想，結(jié)合點(diǎn)新穎，題目給人清新微風(fēng)撲面之感．解題的關(guān)鍵是用分析法，從結(jié)論出發(fā)，以點(diǎn)與圓位置關(guān)系判定方法，想到配湊韋達(dá)定理，巧妙利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，由a、b、c 的幾何意義，繞回到橢圓離心率上，使點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、一元二次方程的根、橢圓性質(zhì)等聯(lián)系在一起．

例2  如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為．

(Ⅰ)求在，的條件下，的最大值；

(Ⅱ)當(dāng)，時(shí)，求直線的方程．

分析：由三角形面積公式，分析出要求的量，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程，設(shè)而不求，盡量整體運(yùn)算，分別運(yùn)用均值不等式，叛別式法、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式綜合解題．

解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由，解得，      

所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值．

(Ⅱ)由得，，

．   ②

設(shè)到的距離為，則，

又因?yàn)?sub>，所以，代入②式并整理，得，

解得，，代入①式檢驗(yàn)，，故直線的方程是

或或，或．

反思：本題考查知識(shí)的同時(shí)，也考查了解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．其中模塊化運(yùn)算要認(rèn)真學(xué)習(xí)借鑒，如聯(lián)立直線和橢圓方程――得到一個(gè)一元二次方程――運(yùn)用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)――弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體運(yùn)算求解．

例3    已知圓O：x²+y²=4，直線m：，(1)求證直線m與圓O有兩個(gè)相異交點(diǎn)；(2)設(shè)直線m與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求△AOB面積S_△AOB的最大值．

分析：第一問(wèn)只需判斷直線過(guò)定點(diǎn)(0，1)，且這個(gè)定點(diǎn)在圓內(nèi)，第二問(wèn)要用向量方法判斷的取值范圍，以S_△AOB=求出三角形面積的最大值．

解：(1)直線m：y=kx+1恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，而(0，1)在圓x²+y²=4內(nèi)部，所以直線m與圓O恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

(2)，解得，設(shè)，

所以，，

，

所以，當(dāng)k=0時(shí)，最大值為，所以，

，

所以，

所以S_△AOB=，

所以△AOB面積S_△AOB的最大值為．

反思：第一問(wèn)考查過(guò)定點(diǎn)的直線系及點(diǎn)在圓內(nèi)的判斷方法，第二問(wèn)考查以向量為工具，解決三角形面積問(wèn)題，在運(yùn)算方面仍然考查設(shè)而不求，運(yùn)用用韋達(dá)定理整體運(yùn)算．

 ①直線方程中含有參數(shù)時(shí)，要先考慮直線是否過(guò)定點(diǎn)，或是否是平行直線系．②直線和圓的題目要盡量使用數(shù)形結(jié)合思想解題，以簡(jiǎn)化運(yùn)算．本題第(2)問(wèn)也可以不用向量的方法，運(yùn)用三角形余弦定理，得到(圓O半徑為r=4)，當(dāng)AB垂直于y軸時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|取最小值；當(dāng)AB是圓的直徑時(shí)， |AB|取最大值．所以，所以，以下同上解法．

七 高考風(fēng)向標(biāo)

考查方向一：填空選擇題由過(guò)去的單一考查概念與定義、基本元素與基本關(guān)系逐漸轉(zhuǎn)向突出考查數(shù)學(xué)思想方法，在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)”命題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)掌握的基礎(chǔ)性、全面性和熟練性.

例1 過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為         ．

解析：該橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，該直線方程是，代入橢圓方程得．設(shè)，則的面積等于

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查解析幾何的基本思想方法．解題的關(guān)鍵是設(shè)而不求的整體思想．若對(duì)解析幾何中“設(shè)而不求”的整體思想認(rèn)識(shí)模糊，則會(huì)陷入復(fù)雜的運(yùn)算導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例2設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26．若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）

A．      B．    C．        D．

解析：由已知得在橢圓中，由此知道在雙曲線中的，故雙曲線中的，雙曲線方程為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題的能力。注意不要把把橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)誤以為是橢圓中的，混淆橢圓和雙曲線中的的關(guān)系。

考查方向二：解答題綜合向量的有關(guān)知識(shí)，與數(shù)列、函數(shù)、不等式等內(nèi)容結(jié)合求圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.另外，存在性和最值、定值、參數(shù)范圍問(wèn)題也是圓錐曲線的�？夹问�.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，比如數(shù)形結(jié)合、分類討論、設(shè)而不求、點(diǎn)差法等.

例3如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．

（Ⅰ）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．

由得，得，所以，．

因此直線的方程為，直線的方程為．

所以，①   ．②

由①減②得，因此，即．所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：

，，所以是方程的兩根，

因此，，又，所以．

由弦長(zhǎng)公式得．

又，所以或，因此所求拋物線方程為或．

（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，

由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得．

若在拋物線上，則，因此或．

即或．

（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．

（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，，

又，，所以，即，矛盾．

對(duì)于，因?yàn)?sub>，此時(shí)直線平行于軸， 又，

所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)．

綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)、拋物線、等差數(shù)列、直線被曲線所截得的線段的長(zhǎng)、平面向量的加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查坐標(biāo)法、方程、分類討論、反證等基本思想方法，考查邏輯推理、運(yùn)算求解的能力，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是一道以最基本的知識(shí)為依托全面考察考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的能力型試題。本題的第一問(wèn)就需要考生有“設(shè)而不求”的坐標(biāo)法思想以及方程的思想才能順利解決，實(shí)際上第一問(wèn)中的是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，如果有這個(gè)思想就為第二問(wèn)的解決打下了良好的基礎(chǔ)；第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是如何用去表示弦長(zhǎng)公式中的，在圓錐曲線中弦所在直線的斜率都可以用它們的中點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表達(dá)，特別對(duì)拋物線，，而本題第一問(wèn)所證明的正是點(diǎn)和弦的中點(diǎn)具有相同的橫坐標(biāo)，這樣就找到了解題的突破口；第三問(wèn)更是集中體現(xiàn)了方程思想和坐標(biāo)法思想在解決問(wèn)題中的作用，解決的關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于關(guān)于一條直線對(duì)稱所滿足的兩個(gè)條件（兩點(diǎn)連線和對(duì)稱軸垂直，兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上），進(jìn)行推理論證。

例3已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)．

（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值．

解析：（Ⅰ）由題意得 又，解得，．因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，

．

解方程組得，，

所以．

設(shè)，由題意知，所以，即，

因?yàn)?sub>是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，

因此，又，所以，

故．

又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立．

綜上所述，的軌跡方程為．

（2）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時(shí)，．

綜上所述，的面積的最小值為．

解法二：因?yàn)?sub>，

又，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時(shí)，．

綜上所述，的面積的最小值為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查待定系數(shù)法、參數(shù)法求曲線方程的方法，考查函數(shù)與方程、分類討論的思想，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是一道以解析幾何知識(shí)為依托，全面考查數(shù)學(xué)思想方法，全面考查考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的能力型試題。題目的入口是求出常數(shù)的值，這個(gè)入口就很容易把許多考生拒之門外，曲線的形狀并不是對(duì)所有考生都熟悉的；在接下來(lái)的第二問(wèn)的兩個(gè)設(shè)問(wèn)中，第一個(gè)是用參數(shù)法求曲線方程，第二個(gè)是一個(gè)最值問(wèn)題，這兩個(gè)都不是考生所能輕易解決的。

八、沙場(chǎng)點(diǎn)兵

1.過(guò)點(diǎn)的直線l經(jīng)過(guò)圓的圓心，則直線l的傾斜角大小為（    ）

    A．150°            B．120°           C．30°             D．60°

2.（08重慶卷3)圓O₁:和圓O₂: 的位置關(guān)系是（    ）

A.相離      B.相交     C.外切      D.內(nèi)切 

3.方程對(duì)應(yīng)的曲線是（    ）