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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

2009大連市高三雙基考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考公式：

棱錐體積公式：（其中為棱錐的底面積，為棱錐的高）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1、集合，則=

　A． B. C.D.

2、在等差數(shù)列中，已知，則等于

A. 1003 B. 1004 C. 1005 D.1006

3、函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是

A. B. C. D.

4、已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，則一定為

A．非奇非偶函數(shù) B. 奇函數(shù) C. 偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)

5、二項(xiàng)展開式中的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為

A. B. C. D.

6、已知函數(shù)，則

A. B. C. D.

７、已知等腰直角，，,點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的最大值為

A.4 B.5 C.6 D.7

8、已知數(shù)列（），則的最小值為

A．-19 B.-18 C.-17 D.-16

9、下列說法錯(cuò)誤的是

A.已知命題為“”，則為“”

B. 若為假命題，則均為假命題

C. 的一個(gè)充分不必要條件是

D.“全等三角形的面積相等”的否命題是假命題

10、如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上.當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為

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第１０題圖

11、已知拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為

A. B. C. D.

12、已知，則關(guān)于的方程有實(shí)根的概率為

A. B.

C. D.

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

二、填空題:（本大題共6小題，每小題4分，考生做答4題，滿分16分．其中15-18題是選做題.）

（一）必做題.

13、已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在圓上，則雙曲線的漸近線方程為．

14、給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數(shù)是　　　　　　.

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第１４題圖

（二）選做題(考生只需選做二題，如果多做，則按所做的前兩題記分).

15、（不等式選講選做題）不等式的解集為．

16、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到直線的距離是　　　　．

17、（幾何證明選講選做題）如圖，已知C在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的平分線交AE于點(diǎn)F,交AB于D點(diǎn)，則ADF= ．

18、（矩陣選講選做題）矩陣的逆矩陣是．

第１５題圖

三.解答題:本大題共6題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

１９、（本小題滿分12分）已知中，，角所對(duì)的邊分別是

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若，求的最小值．

２０、（本小題滿分12分）如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點(diǎn)

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

２１、（本小題滿分12分）已知盒中有大小相同的 3個(gè)紅球和t 個(gè)白球，從盒中一次性取出3個(gè)球，取到白球個(gè)數(shù)的期望為.若每次不放回地從盒中抽取一個(gè)球，一直到抽出所有白球時(shí)停止抽取，設(shè)為停止抽取時(shí)取到的紅球個(gè)數(shù)，

（Ⅰ）求白球的個(gè)數(shù)t；

（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望.

２２、（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，

（Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求.

２３、（本小題滿分12分）已知可行域的外接圓C與軸交于點(diǎn)A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為短軸，離心率

（Ⅰ）求圓C及橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）過橢圓C₁上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）．

２４、（本小題滿分1４分）已知函數(shù)（常數(shù)）

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，求證：函數(shù)所有極值之和小于．

2009大連市高三雙基考試

一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空題

13．　　　 14. 7500 　　　 15. （-1，1）

16. 　　　　　�。保罚�45^o 　　　　　　　　１８．

三、解答題

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因?yàn)?sub>，所以，所以，

即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時(shí)取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以

又因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中點(diǎn)，連接，

由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，

所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨設(shè)，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

過點(diǎn)作的垂線交于，連接.

因?yàn)?sub>，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）從盒中一次性取出三個(gè)球，取到白球個(gè)數(shù)的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望為，所以，即盒中有 3個(gè)紅球，2 個(gè)白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列為

0

1

2

3

P

┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =

答：紅球的個(gè)數(shù)為2，的數(shù)學(xué)期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令 ①

則 ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，

∵，∴為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡(jiǎn)為：，

同理PB的方程為 ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時(shí)過P點(diǎn)，則x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

從而得到、

所以 ┅┅┅┅┅┅┅8分

當(dāng)且僅當(dāng). ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①當(dāng)，即，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當(dāng)，即

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，且，所以在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸在右側(cè)，且，

兩個(gè)根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；在上有，即在單調(diào)遞減.

綜上：時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，有極大值，極小值，所以

，又因?yàn)?sub>，

┅┅┅１2分

所以

=

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