廣東省2009屆高三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編――圓錐曲線
珠海市第四中學(xué) 邱金龍
一、選擇題
1、（2009東莞一模）設(shè)
是橢圓
上的點．若
是橢圓的兩個焦點，則
等于（ ）
A．4 B
D
2、（2009茂名一模）已知
是橢圓的兩個焦點，過
且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若
是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
C
3、（2009汕頭一模）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的實軸與虛軸相等，一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為（�。�
A、x2－y2＝2 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B、x2－y2＝ C、x2－y2＝1 D、x2－y2＝
A
4、（2009韶關(guān)一模）圓
上的動點
到直線
的最小距離為
A．1 B． 
C． 
D．
B
5、（2009深圳一模）設(shè)平面區(qū)域
是由雙曲線
的兩條漸近線和橢圓
的右準線所圍成的三角形（含邊界與內(nèi)部）．若點
，則目標函數(shù)
的最大值為
A．
B．
C．
D．
C
6、（2009湛江一模）過點A (3 , 0 ) 的直線l與曲線 
有公共點，則直線l斜率的取值范圍為
A．(
, 
) B．[, ]
C．(
, 
) D．[, ]
D
二、解答題
1、（2009廣州一模）已知動圓C過點A(－2，0)，且與圓M：(x－2)2+x2=64相內(nèi)切
(1)求動圓C的圓心的軌跡方程；
(2)設(shè)直線l: y=kx+m(其中k，m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B，D，與雙曲線
交于不同兩點E，F(xiàn)，問是否存在直線l，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
(本題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、類與整的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)
解：（1）圓M：(x－2)2+x2=64，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R=8.
∵|AM|=4<R，∴點A(－2，0)在圓M內(nèi)，
設(shè)動圓C的半徑為r，圓心為C，依題意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分
∴圓心CD的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，
設(shè)其方程為
(a>b>0)，則a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為
.
……5分
(2)由
消去y 化簡整理得：(3+4k2)x2+8kmx+
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1+x2=
.
△1=(
由
消去y 化簡整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
設(shè)E(x3，y3)，F(xiàn)(x4，y4)，則x3+x4=
.
△2=(－
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴
，∴
，
解得k=0或m=0， ……11分
當k=0時，由①、②得
，
∵m∈Z，∴m的值為－3，－2，－1，0，1，2，3；
當m=0時，由①、②得
，
∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴滿足條件的直線共有9條. ……14分
2、（2009廣東三校一模）知定點
和定直線
，
是定直線上的兩個動點且滿足
,動點滿足
∥
，
∥
（其中
為坐標原點）.www.hytprinting.com
(1)求動點的軌跡
的方程;
(2)過點
的直線
與相交于
兩點
①求
的值;
②設(shè)
,當三角形
的面積
時,求
的取值范圍.
解：(1)設(shè)
(
均不為
),
由 ∥ 得
,即
2分
由∥得
,即
2分
得 
動點的軌跡的方程為
6分
（2）①由（1）得的軌跡的方程為，,
設(shè)直線的方程為
,將其與的方程聯(lián)立,消去
得
.
8分
設(shè)的坐標分別為
,則
. 
,
9分
故
10分
②解法一：
， 即
又
, 
. 可得
11分
故三角形的面積
,
12分
因為
恒成立，所以只要解
. 即可解得
.
14分
解法二：，
，
（注意到
）
又由①有，
，
三角形的面積
（以下解法同解法一）
3、（2009東莞一模）設(shè)橢圓
的左右焦點分別為、
，
是橢圓上的一點，且
，坐標原點到直線
的距離為
．
（1）求橢圓的方程；
（2） 設(shè)
是橢圓上的一點，過點的直線交軸于點
，交
軸于點
，若
，求直線的斜率．
解： （Ⅰ）由題設(shè)知
由于，則有
，所以點的坐標為
……..2分
故所在直線方程為
…………3分
所以坐標原點到直線的距離為
，
又
，所以
，解得：
.………….5分
所求橢圓的方程為
.…………7分
（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線斜率為
，則直線的方程為
，則有
.……9分
設(shè)
，由于、、三點共線，且
.
根據(jù)題意得
,解得
或
.…………12分
又在橢圓上，故
或
，
解得
,綜上，直線的斜率為或
…………14分
4、（2009番禺一模）已知拋物線
的焦點為，點是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點，點到拋物線準線的距離等于5，過作
垂直軸于點
，線段
的中點為.
（1）求拋物線方程；
（2）過點作
，垂足為
，求點的坐標；
（3）以點為圓心，
為半徑作圓，當
是軸上一動點時，討論直線
與圓的位置關(guān)系．
解：（1）拋物線
的準線
∴所求拋物線方程為
………………3分
（2）∵點A的坐標是（4，4）， 由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0）， ∴
則FA的方程為y=
（x－1），MN的方程為
解方程組
………………7分
（3）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2.
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離， ……………9分
當m≠4時，直線AK的方程為
即為
…………………10分
圓心M（0，2）到直線AK的距離
，
…………………11分
令
時，直線AK與圓M相離；
……………………12分
當m=1時，直線AK與圓M相切； …………………13分
當
時，直線AK與圓M相交.
……………………14分
5、（2009江門一模）如圖6，拋物線：
與坐標軸的交點分別為、
、
.
⑴求以、為焦點且過點的橢圓方程；
⑵經(jīng)過坐標原點的直線
與拋物線相交于
、兩點，若
，求直線的方程．
⑴由解得
、
、
----------3分
所以
，
，從而
----------5分，橢圓的方程為
----------6分
⑵依題意設(shè)
：
----------7分，由
得
----------8分
依題意得
----------11分，解得
----------13分
所以，直線的方程是
或
----------14分
6、（2009茂名一模）已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：
的圓心C。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線的方程。
解：
（1）圓C方程化為：
，
圓心C
………………………………………………………1分
設(shè)橢圓的方程為
，則……………………………………..2分
所以所求的橢圓的方程是：
………………………………………….6分
（2）由（1）得到橢圓的左右焦點分別是
，
在C內(nèi)，故過沒有圓C的切線……………………………………………….8分
設(shè)的方程為
……………………………………….9分
點C
到直線的距離為d
,
由
＝
…………………………………………….11分
化簡得：
解得：
…………………………………………………………13分
故的方程為
……………………………14分
7、（2009韶關(guān)一模）已知動圓過定點
，且與定直線
相切.
（I）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（II）若是軌跡C的動弦，且過， 分別以、為切點作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點為Q，證明:
.
解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線上……2分
因為拋物線焦點到準線距離等于4, 所以圓心的軌跡是
………………….5分
（II）
…………….6分
， 
，
………8分
拋物線方程為
所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是
，
，
所以，
8、（2009深圳一模）如圖，兩條過原點的直線
分別與軸、軸成
的角，已知線段
的長度為，且點
在直線
上運動，點
在直線
上運動．
(Ⅰ) 求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點
的直線與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點、，且
為銳角,求直線的斜率的取值范圍．
解：（Ⅰ）由已知得直線
，：
，
：
， ……… 2分
在直線上運動，直線上運動，
,
，
…………………… 3分
由
得
，
即
，
，
…………………… 5分
動點的軌跡的方程為
． …………………… 6分
（Ⅱ）直線方程為
，將其代入，
化簡得
， ……… 7分
設(shè)
、
，
，
且
， …………………… 9分
為銳角，
，
…………………… 10分
即
，
，
．
將代入上式，
化簡得
，
．
…………………… 12分
由
且
，得
． ……………………14分
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