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        1.   正方形的性質與判定

           

          (1)(2008年沈陽市)如圖所示,正方形中,點邊上一點,連接,交對角線于點,連接,則圖中全等三角形共有(  C  )

          A.1對              B.2對              C.3對              D.4對

           

           

          (2)(2008年江蘇省無錫市)如圖,分別為正方形的邊,

          上的點,且,則圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為( A。

          A.         B.         C.         D.

          (3)(2008廣州市)如圖2,每個小正方形的邊長為1,把陰影部分剪下來,用剪下來的陰影部分拼成一個正方形,那么新正方形的邊長是(   C )

            A      B  2    C     D

          圖2

           

           

           

          (4)(2008黑龍江哈爾濱)如圖,將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊,使點D落在BC邊中點E處,點A落在點F處,折痕為MN,則線段CN的長是(  D  ).

              (A)3cm(B)4cm

              (C)5cm(D)6cm

           

           

           

           

           

           

           

           

          (5)(2008年天津市)如圖,在正方形ABCD中,E為AB邊的中點,G,F(xiàn)分別為AD,BC邊上的點,若,,則GF的長為  3    .      

           

          (6)(2008佛山12)如圖,已知P是正方形ABCD對角線BD上一點,且BP = BC,

          則∠ACP度數(shù)是  22.5 °      

           

           

           

           

          (7)(2008佳木斯市9)下列各圖中,          不是正方體的展開圖(填序號).

           

           

           

           

           

           

           

           

          (8)(2008湖北孝感)四個全等的直角三角形圍成一個大正方形,中間空出的部  

          分是一個小正方形,這樣就組成了一個“趙爽弦圖”(如圖)。如果小正方形

          面積為1,大正方形面積為25,直角三角形中較小銳角為θ,那么=  0.6   。

          。

           

           

           

           

          (9)(2008四川內(nèi)江)如圖,在的矩形方格圖中,不包含陰影部分的矩形個數(shù)是          個.(14個)

          11.(2008年山東省青島市)已知:如圖,在正方形ABCD中,G是CD上一點,延長BC到E,使CE=CG,連接BG并延長交DE于F.

          (1)求證:△BCG≌△DCE;

          (2)將△DCE繞點D順時針旋轉90°得到△DAE′,判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形?并說明理由

          解:(1)證明:∵四邊形為正方形

          ∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°

                          ∵CG=CE,

          ∴△BCG≌△DCE

          (2)答:四邊形E′BGD是平行四邊形

          理由:

          ∵△DCE繞點D順時針旋轉90°得到△DAE′

          ∴CE=AE′

          ∵CG=CE

          ∴CG=AE′

          ∵AB=CD,AB∥CD,

          ∴BE′=DG,BE′∥DG,

          ∴四邊形E′BGD是平行四邊形  

           

          12.(2008年江蘇省無錫市)如圖,已知是矩形的邊上一點,,試說明:

           

          解法一:矩形中,,

          ,,

          解法二:矩形中,

          ,

           

           

          20.(2008湖北襄樊)如圖12,B、C、E是同一直線上的三個點,四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形.連接BG、DE.

          (1)觀察猜想BG與DE之間的大小關系,并證明你的結論.

          (2)在圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形?若存在,請指出,并說出旋轉過程;若不存在,請說明理由.

           

           

           

           

           

           

          解:(1)BG=DE

           ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,

          ∴GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°)

          ∴△BCG≌△DCE

          ∴BG=DE

          (2)存在. △BCG和△DCE

          △BCG繞點C順時針方向旋轉90°與△DCE重合

           

          23.(2008泰州市)在矩形ABCD中,AB=2,AD=

          (1)在邊CD上一點E,使EB平分∠AEC,并加以說明;(3分)

          (2)若P為BC邊上一點,且BP=2CP,連接EP并延長交AB的延長線于F.

          ①求證:點B平分線段AF;(3分)

          ②△PAE能否由△PFB繞P點按順時針方向旋轉而得到,若能,加以證明,并求出旋轉度數(shù);若不能,請說明理由.(4分)

           

          解:(1)當E為CD中點時,EB平分∠AEC

          由∠D=900 ,DE=1,AD=,推得DEA=600

          同理,∠CEB=600 ,從而∠AEB=∠CEB=600 ,即EB平分∠AEC

          (2)① ∵CE∥BF

          == ∴BF=2CE

          ∵AB=2CE,

          ∴點B平分線段AF

          ②能。

          證明:∵CP=,CE=1,∠C=900

          ∴EP=

          在Rt △ADE中,AE=  =2

          ∴AE=BF,

          又∵PB=,

          ∴PB=PE

          ∵∠AEP=∠BP=900

          ∴△PAS≌△PFB。

          ∴△PAE可以△PFB按照順時針方向繞P點旋轉而得到。

          旋轉度數(shù)為120

           

          28.(2008湖北黃岡)已知:如圖,點是正方形的邊上任意一點,過點的延長線于點.求證:

           

          解:∵ 四邊形ABCD是正方形,

          ∴  AD=CD  ,∠A=∠DCF=900

          又∵ DF⊥DE,

          ∴ ∠1+∠3=∠2+∠3

          ∴ ∠1=∠2

          在Rt△DAE和Rt△DCE中,

          ∠1=∠2

          AD=CD

          ∠A=∠DCF

          ∴ Rt△DAERt△DCE

          ∴ DE=DF.

          33. (2008黑龍江黑河)已知:正方形中,繞點順時針旋轉,它的兩邊分別交(或它們的延長線)于點

          繞點旋轉到時(如圖1),易證

          (1)當繞點旋轉到時(如圖2),線段之間有怎樣的數(shù)量關系?寫出猜想,并加以證明.

          (2)當繞點旋轉到如圖3的位置時,線段之間又有怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出你的猜想.

          .

           解:(1)成立.

          如圖,把繞點順時針,得到,

          則可證得三點共線(圖形畫正確)

          證明過程中,

          證得:

          證得:

          (2)

           

           

          34.(2008廣東肇慶市)如圖5,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的頂點D在邊AC上,點EF在邊AB上,點G在邊BC上.

          (1)求證AE=BF;

          (2)若BC=cm,求正方形DEFG的邊長.

           

          解:(1)∵  等腰Rt△ABC中,∠90°,

          ∴  ∠A=∠B                                         

          ∵ 四邊形DEFG是正方形,

          ∴  DE=GF,∠DEA=∠GFB=90°

          ∴  △ADE≌△BGF

          ∴  AE=BF

          (2)∵ ∠DEA=90°,∠A=45°

          ∴ ∠ADE=45°

          ∴ AE=DE.    同理BF=GF

          ∴  EF=AB===cm

          ∴ 正方形DEFG的邊長為

           

          36.(2008湖南益陽市) △ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.

             Ⅰ.證明:△BDG≌△CEF;

           

           

           

           

          Ⅱ. 探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.

          小聰和小明各給出了一種想法,請你在a和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答. 如果兩題都解,只以a的解答記分.

          Ⅱa. 小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.

          設△ABC的邊長為2 ,請你幫小聰求出正方形的邊長(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化) .

           

           

           

           

           

           

           

           

          Ⅱb. 小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形. 具體作法是:

                   ①在AB邊上任取一點G’,如圖作正方形G’D’E’F’;

          ②連結BF’并延長交AC于F;

          ③作FE∥F’E’交BC于E,F(xiàn)G∥F′G′交AB于G,GD∥G’D’交BC于D,則四邊形DEFG即為所求.

          你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

           

           

           

           

           

           

          Ⅰ.證明:∵DEFG為正方形,

          ∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°

                       ∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°

                       ∴△BDG≌△CEF(AAS)

              Ⅱa.解法一:設正方形的邊長為x,作△ABC的高AH,

          求得

                                      由△AGF∽△ABC得:

          解之得:(或)

                 

          解法二:設正方形的邊長為x,則

                   在Rt△BDG中,tan∠B=,

          解之得:(或)

          解法三:設正方形的邊長為x,

                              由勾股定理得:

                              解之得:

          Ⅱb.解: 正確

                      由已知可知,四邊形GDEF為矩形

                             ∵FE∥F’E’ ,

          ,

          同理,

                             又∵F’E’=F’G’,

          ∴FE=FG

          因此,矩形GDEF為正方形

           

           

          38.(2008年上海市)如圖11,已知平行四邊形中,對角線交于點延長線上的點,且是等邊三角形.

          (1)求證:四邊形是菱形;

          (2)若,求證:四邊形是正方形.

           

          證明:(1)四邊形是平行四邊形,

          是等邊三角形,

          ,即

          平行四邊形是菱形

          (2)是等邊三角形,

          ,

          四邊形是菱形,

          四邊形是正方形

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           


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