高考60天沖刺――圓錐曲線綜合應用
1．點A、B分別是以雙曲線
的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方，
（1）求橢圓C的的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。
2已知在平面直角坐標系
中，向量
，且
.
（I）設
的取值范圍；
（II）設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經過點M，且
取最小值時，求橢圓的方程.
3．設A、B是橢圓3x2＋y2=λ上的兩點, 點N(1,3)是線段AB的中點.
(1)確定λ的取值范圍, 使直線AB存在, 并求直線AB的方程.
(2)線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點, 求線段CD的中點M的坐標
(3)試判斷是否存在這樣的λ, 使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.
4．設
是拋物線
上相異兩點，且
，直線
與
軸相交于
．
（Ⅰ）若
到軸的距離的積為
，求
的值；
（Ⅱ）若為已知常數，在軸上，是否存在異于的一點
，使得直線
與拋物線的另一交點為
，而直線
與軸相交于
，且有
，若存在，求出點的坐標（用表示），若不存在，說明理由．
5．已知點A、B的坐標分別是
，
.直線
相交于點M，且它們的斜率之積為－2.
(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點
的直線
交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線的方程.
6．已知
，點
在軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足，
，
.
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
（Ⅱ）過
的直線
與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.
7．已知點C為圓
的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且
（Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線
與（Ⅰ）中所求點Q
的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標原點，
且
，求△FOH的面積
8．如圖，在直角坐標系
中，已知橢圓
的離
心率e＝
，左右兩個焦分別為
．過右焦點
且與
軸垂直的
直線與橢圓
相交M、N兩點，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足
，（
）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上. 
9．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過
、
、
三點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線：
（
）與橢圓交于
、
兩點，證明直線
與直線
的交點在直線
上．
10．如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。
(Ⅰ)設點P分有向線段
所成的比為λ，證明
(Ⅱ)設直線AB的方程是x―2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。
11．已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且
（其中O為原點），求
的范圍。
12．如圖,過拋物線
的對稱軸上任
一點
作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q
是點P關于原點的對稱點．
⑴．設點P滿足
（
為實數），
證明：
；
⑵．設直線AB的方程是
，過A、B兩點
的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．
13．一束光線從點
出發(fā)，經直線
上一點反射后，恰好穿過點
．
（Ⅰ）求點
關于直線的對稱點
的坐標；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓的方程；
（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點
為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．
14．已知平面上一定點
和一定直線
Ｐ為該平面上一動點，作
垂足為，
.
(1) 問點Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；
(2)
點Ｏ是坐標原點，
兩點在點Ｐ的軌跡上，若
求的取值范圍．
15．
如圖，已知E、F為平面上的兩個定點
，
，且
，
?
，（G為動點，P是HP和GF的交點）
（1）建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；
（2）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與
（或的延長線）相交于一點，則
＜
（
為的中點）．
16．已知動圓過定點
，且與直線
相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；
(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于
兩點，且滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
17．已知
若動點P滿足
（1）求動點P的軌跡方C的方程；
（2）設Q是曲線C上任意一點，求Q到直線
的距離的最小值.
18．已知拋物線x
=2py(p>0)，過動點M(0,a)，且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p,
（1）求a的取值范圍；
（2）若p=2，a=3，求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積；
19．如圖，直角梯形ABCD中，∠
，AD∥BC，AB=2，AD=
，BC=
橢圓F以A、B為焦點且過點D，
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點E滿足
,是否存在斜率
兩點，且
，若存在，求K的取值范圍；若不存在，說明理由。
20．已知
是函數
圖象上一點，過點的切線與軸交于，過點作軸的垂線，垂足為 .
（1）求點坐標；
（2）若
，求
的面積
的最大值，并求此時
的值.
1．解（1）已知雙曲線實半軸a1=4，虛半軸b1=2
，半焦距c1=
，
∴橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸
=
，
∴所求的橢圓方程為
（2）由已知
,
，設點P的坐標為
，則
由已知得
則
，解之得
，
由于y>0，所以只能取
，于是
，所以點P的坐標為
9分
（3）直線
，設點M是
，則點M到直線AP的距離是
，于是
，
又∵點M在橢圓的長軸上，即 
∴當
時，橢圓上的點到
的距離
又
∴當
時，d取最小值
2．解：（1）由
，
得
…………………………………………………………………3分
∴夾角
的取值范圍是（
）
………………………………………………………………6分
（2）
…………………………………………………………………………………………8分
………………10分
∴當且僅當
或
…………12分
橢圓長軸
或
故所求橢圓方程為
.或
…………14分
3．(1)解: 依題意,可設直線AB的方程為y=k(x－1)＋3, 代入3x2＋y2=λ, 整理得(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ=0 ①
設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1,x2是方程①的兩個不同的根,∴△=4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]>0.②
且x2＋x1= , 由N(1,3)是線段AB的中點, 得 =1 , ∴k(k－3)=k2＋3
解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范圍是(12, ＋∞), ∴
直線AB的方程為y－3=－(x－1),即x＋y－4=0
(2)∵CD垂直平分AB, 直線CD的方程為y－3=x－1, 即x－y＋2=0,代入橢圓方程, 整理得
4x2＋4x＋4－λ=0 ③ 又設C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中點C(x0,y0), 則x3,x4是方程③的兩根, ∴x3＋x4=－1, 且x0= (x3＋x4)=－, y0 =x0＋2 = , 即M(－, )
(3)由弦長公式可得|CD|= |x1－x2|= ④
將直線AB的方程x＋y－4=0,代入橢圓方程得4x2－8x＋16－λ=0 ⑤
同理可得|AB|= ?|x1－x2|= ⑥
∵當λ>12時, > , ∴ |AB|<|CD|, 假設存在λ>12, 使得A、B、C、D四點共圓, 則CD必為圓的直徑, 點M為圓心, 點M到直線AB的距離為
d= = = .. ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.
|MA|2=|MB|2=d2＋ ||2 = ＋ = = ||2. 故當λ>12時, A、B、C、D四點均在以M為圓心, || 為半徑的圓上.
4.解： （Ⅰ）∵ ?＝0，則x1x2＋y1y2＝0， ……………………1分
又P、Q在拋物線上，
∴y12＝2px1，y22＝2px2，
∴ ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2 ，
∴ |y1y2|＝4p2， ……………………3分
又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1． ……………………4分
（Ⅱ）設E(a,0），直線PQ方程為x＝my＋a ,
聯(lián)立方程組 , ……………………5分
消去x得y2－2pmy－2pa＝0 , ……………………6分
∴ y1y2＝－2pa , ① ……………………7分
設F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：
y1y3＝－2pb , ② ……………………8分
由①、②可得 ＝ , ③ ……………………9分
若 ＝3，設T(c,0)，則有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),
∴ y3＝3y2 即�。�3, �、堋 � ……………………10分
將④代入③，得 b＝
又由（Ⅰ）知，?＝0 ,
∴ y1y2＝－4p2，代入①，
得－2pa＝－4 p2 ∴ a＝2p, ……………………13分
∴ b＝6p,
故，在x軸上，存在異于E的一點F(6p,0)，使得 ＝3． ………………14分
注：若設直線PQ的方程為y＝kx＋b，不影響解答結果．
5．解: (Ⅰ)設
……………………………………………………………………………1分
因為
,所以
……………………………………..3分
化簡得:
. ……………………………………………………………..4分
(Ⅱ) 設
當直線⊥x軸時,直線的方程為
,則
,其中點不是N,不合題意…………………………………………6分
設直線的方程為
將代入得
…………(1) 
…………(2) ……………………………….8分
(1)-(2)整理得:
……………………………11分
直線的方程為
即所求直線的方程為
……………………………………………12.分
解法二: 當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,其中點不是N,不合題意.
故設直線的方程為,將其代入化簡得
由韋達定理得
,
又由已知N為線段CD的中點,得
,解得
,
將
代入(1)式中可知滿足條件.
此時直線的方程為,即所求直線的方程為
6．（Ⅰ）解：設 則
……………………………………………...2分
由 得 
，
……………………………………………..4分
又
即
，
……………6分
由 得 
……………………………………………………..8分
（Ⅱ）設
，
因為
，故兩切線的斜率分別為
、
……………………………10分
由方程組
得
………..12
當時，，
，所以 
所以，直線的方程是 
……………………………….14分
7．解：（1）由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2
>|CA|=2，于是點 Q的軌跡是以點C，A為焦點，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸
點Q的軌跡E方程是：
.…………………………4分
（2）設Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），則由
，
消去y得
…………………………6分
又點O到直線FH的距離d=1，
8．解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
，--------2分
∵
，∴
，-----------------------------------4分
又
得
∴
∴
，-------------------------------6分
∴所求橢圓C的方程為
．------------------------------------------------7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則
，
,
由
－4得－
，
∴點P的軌跡方程為
------------------------------------9分
設點B關于P的軌跡的對稱點為
，則由軸對稱的性質可得：
，
解得：
，------------------------------11分
∵點在橢圓上，∴ 
，整理得
解得
或 
∴點P的軌跡方程為
或
，-------------------------------------------13分
經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．----------------14分
9．（Ⅰ）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設其方程為
（
），
則
，又點在橢圓上，得
．解得
．
∴橢圓的方程為
．
當橢圓E的焦點在y軸上時，設其方程為
（），
則
，又點在橢圓上，得
．解得
，這與
矛盾．
綜上可知，橢圓的方程為．
……4分
解法二：設橢圓方程為
（
），
將、、代入橢圓的方程，得
解得
，
．
∴橢圓的方程為．
……4分
（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得
，
……6分
設直線與橢圓的交點
，
，
由根與系數的關系，得
，
．
……8分
直線的方程為：
，它與直線的交點坐標為
，同理可求得直線與直線的交點坐標為
．
……10分
下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：
∵
，
，
∴
．
因此結論成立．
綜上可知，直線與直線的交點在直線上．
……14分
證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得，
……6分
設直線與橢圓的交點，，
由根與系數的關系，得，．
……8分
直線的方程為：，即
．
直線的方程為：
，即
． ……10分
由直線與直線的方程消去，得
．
∴直線與直線的交點在直線上．
……14分
證法三：將直線：，代入橢圓方程并整理，得，
……6分
設直線與橢圓的交點，，
由根與系數的關系，得，．
……8分
消去
得，
．
……10分
直線的方程為：，即．
直線的方程為：，即． ……12分
由直線與直線的方程消去得，
．
∴直線與直線的交點在直線上．
……14分
10．解(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為
,代入拋物線方程
得
①
設A、B兩點的坐標分別是（x1,y1）、(x2,y2),則x1、x2是方程①的兩根。
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