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直線和圓的方程(教師版)

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．全國Ⅰ）已知直線過點(diǎn)（－2，0），當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是   （　C  ）

    A．)　   　B．　    C．（）　      D．（）

2．（大連檢測）從點(diǎn)P(m,3)向圓C：      ，引切線，則切線長的最小值為（A ）

    A．2          B．                 C．               D．5

3．(江西高考)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和

上的點(diǎn)，則的最大值為                                            （ D  ）

A．6                 B．7               C．8               D．9

4．(天津高考)設(shè)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為，則。（0）

5．如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為_______。(1)

6．過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍____

() 　

★     ★★熱點(diǎn)透析

直線與圓在高考中主要考查三類問題：

一.基本概念題和求在不同條件下的直線方程，基本概念重點(diǎn)考查：

1）與直線方程特征值（主要指斜率，截距）有關(guān)的問題；

2）直線的平行和垂直的條件；

3）與距離有關(guān)的問題等。

此類題目大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形出現(xiàn)；

二.直線與圓的位置關(guān)系綜合性試題，此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)；

三.線性規(guī)劃問題，在高考中極有可能涉及，但難度不會大

★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為求直線PN的方程

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有，

即．

整理得  x²+y²－6x+1=0．      ①

因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MＮ|＝2，

所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±，

直線PM的方程為y=±（x＋1）．②

將②式代入①式整理得x²－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．

代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；

（2＋，－1－）或（2－，1－）．

直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1．

【范例2】已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),點(diǎn)P是直線=-2上的一點(diǎn)，滿足∠APB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠APB的最大值.?

解：設(shè)P（，－2），則k_AP＝，

當(dāng)＜3時(shí)，

tanAPB＝≤1

當(dāng)且僅當(dāng)3－＝，即＝1時(shí)等號成立，?又當(dāng)

∴P是(1,-1)時(shí)，∠APB有最大值；

當(dāng)＞3時(shí)，同法可求∠APB的最大值是arctan

結(jié)論：當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（－1，1）時(shí)，∠APB有最大值

變式：過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交的正半軸于，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB方程.(x+2y-5=0和2x+y-4=0)

【范例3】已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足設(shè)圓C的方程為

,證明：1）求圓心C的規(guī)跡方程；2）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求p的值。

解：設(shè)圓C的圓心為C(x,y)，則,

又,

,=所以圓心的軌跡方程為：

2）設(shè)圓心C到直線的距離為d,則，所以當(dāng),d有最小值，由題設(shè)，所以p=2

變式：已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值。

解：點(diǎn)P在直線上，所以設(shè)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)

=2=四邊形PACB的面積最小，而|PC|=，所以|PC|最小為3，所以最小為

變式：一束光線通過點(diǎn)射到x軸上，再反射到圓C：上，求反射光線在x軸上的活動(dòng)范圍。（反射點(diǎn)在）