1．下面說法正確的是 （ ）
A．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值
B．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平
C．離散型隨機變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平
D．離散型隨機變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值
（文）要完成下列2項調查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶
低收入家庭中選出100戶調查社會購買力的某項指標；②從某中學高一年級的12名體
育特長生中選出3人調查學習負擔情況。應采用的抽樣方法是 （ ）
A．①用隨機抽樣法 ②用系統(tǒng)抽樣法 B．①用分層抽樣法 ②用隨機抽樣法
C．①用系統(tǒng)抽樣法 ②用分層抽樣法 D．①、②都用分層抽樣法
2．同時拋擲4枚均勻的硬幣80次，設4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學期望是 （ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
3．書架上有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本.從這個書架上任意
抽取兩本書，這兩本書不是同一種文字的概率是
4．甲袋中裝有3個白球5個黑球，乙袋中裝有4個白球6個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機取出一個球放入乙袋中，充分摻混后再從乙袋中隨機取出一個球放回甲袋，則甲袋中白球沒有減少的概率為（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
先計算白球減少的概率，從甲袋中取出白球概率為
，再從乙袋中取出黑球概率為
所求概率為1-
5．袋中有一些大小相同的小球，其中號數(shù)為1的小球1個，號數(shù)為2的小球2個，號數(shù)為3的小球3個，……，號數(shù)為n的小球n個，從袋中取一球，其號數(shù)記為隨機變量ξ，則ξ的數(shù)學期望Eξ= . 
6．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率 （ ）
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定
5．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別是0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是甲射中的概率是 （ ）
A．0.6 B．
C．
D．
6．拋擲兩個骰子，當至少有一個的點數(shù)的3的倍數(shù)時，就說這次試驗成功，設在50次試驗中成功的次數(shù)為
，則E=
，D=
（精確到0.01）27.78,12.35
1．（維坊3月）甲、乙兩人投籃，命中率分別為0.4和0.6，每人各投兩次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）兩人都投進兩球；
（Ⅱ）兩人至少投進三個球.
1．P（甲投進兩球）=
，……………………………2分
P（乙投進兩球）=
………………………………………………4分
P（兩人都投進兩球）=
………………………………………6分
（Ⅱ）P（甲投進一球）=
P（乙投進一球）=……………………………………………8分
P（甲投進兩球乙投進一球）=
P（甲投進一球乙投進兩球）=
∴P（兩人至少投進三個球）=
……………11分
答：兩人都投進兩球的概率是0.0576，兩人至少投進3個球的概率是0.3072.…12分
2．（開封一）已知：有6個房間安排4個旅游者住，每人可以進住任一房間，且進住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4個房間各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4個房間各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某個房間有2人。
2．由于每人可進住任1房間，進住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，
根據(jù)乘法原理，4人進住6個房間共有64種方法 ……3分
（Ⅰ）指定的4個房間各有1人，有
種方法，
……6分
（Ⅱ）從6間中選出4間有
種方法，4個人每人去1間有種方法，
……9分
（Ⅲ）從4人中選2個人去指定的某個房間，共有
種選法，余下2人每人都可去5個房間中的任1間,因而有52種種方法。
……12分
3．（大港）如圖：用A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N，當元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或當元件A正常工作且元件D正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系統(tǒng)N正常工作的概率.
3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=
，它不正常工作的概率
（2分）=
（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A?B?C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作兩種情況，前者概率
，（7分）后者的概率為
（10分）
，
所以系統(tǒng)N正常工作的概率是
4．（山西實驗）甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為
和
，求：
①恰有一個人譯出密碼的概率；
②至多一個人譯出密碼的概率；
解：①
……5分 ②
……10分
5．（山西實驗）設在一袋子內(nèi)裝有5只白球，5只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在這5次取球中（結果保留兩個有效數(shù)學）
①取得白球3次的概率；
②至少有1次取得白球的概率
解：記“取球一次得白球”為事件A，“取球一次得黑球”為事件B.
①
…6分
②
6．（山西實驗）為了測試甲、乙兩名籃球運動員投定位球的水平，在罰球線上讓他們各投籃10次，甲投中7次，乙投中6次，如果讓甲、乙依照各自的水平再投籃3次，求：
①甲運動員恰好投中2次的概率是什么？
②兩名運動員都恰好投中2次的概率是多少？（結果保留兩個有效數(shù)學）
解：設事件A：甲運動員投籃1次，投中 . 事件B：乙運動員投籃1次，投中 .
∴P(A)=0.7 , P(B)=0.6 ①
…………6分
②
…
7．（南京）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．
（Ⅰ）從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；
（Ⅱ）從中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球恰好顏色不同的概率．
7．Ⅰ）記“摸出兩個球，兩球恰好顏色不同”為A，
摸出兩個球共有方法
種， 其中，兩球一白一黑有
種. …………4分
.
………………………………6分
（Ⅱ）法一：記摸出一球，放回后再摸出一個球 “兩球恰好顏色不同”為B，
摸出一球得白球的概率為
，摸出一球得黑球的概率為
， ……8分
“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
.
……………………………12分
法二：有放回地摸兩次，互相獨立. 摸一次得白球的概率為
,……10分
“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為 
………12分
8．在某次考試中，甲、乙、丙三人合格（互不影響）的概率分別是
，
，，考試結束后，最容易出現(xiàn)幾人合格的情況？
解：按以下四種情況計算概率,概率最大的就是最容易出現(xiàn)的情況.
⑴三人都合格的概率
………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率為
……………………… 4分
⑶恰有兩人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率
………………………………… 10分
由此可知，最容易出現(xiàn)恰有１人合格的情況……………………………………………12分
9．（洛陽一中）一個電路中有三個電子元件，它們接通的概率都是m（0＜m＜1
如圖，有如下三
種聯(lián)接方法：
①
②
③
（1）分別求出這三種電路各自接通的概率；
（2）試分析這三種電路哪種性能最優(yōu)，并證明你的結論.
9．三種電路各自接通分別記為事件A1、A2、A3，則P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分 P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m） ∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0 ∴P（A2）＞P（A3）…………11分
三個電子元件并聯(lián)接通的概率最大，故性能最優(yōu)………………12分
10．口袋里放有12個大小完全一樣的球，其中3個紅色的，4個白色的，5個蘭色的，在袋里取出4個球時，求
（1） 取出的球的顏色至少是兩種的概率；
（2） 取出的球的顏色是三種的概率
11．同時拋擲15枚均勻的硬幣一次
(1)試求至多有1枚正面向上的概率；
(2)試問出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚的概率與出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚的概率是否相等?請說明理由.
解：（1）記“拋擲1枚硬幣1次出現(xiàn)正面向上”為事件A，P（A）=
，拋擲15枚硬幣1次相當于作15次獨立重復試驗，根據(jù)幾次獨立重復試驗中事件A發(fā)生K次的概率公式，記至多有一枚正面向上的概率為P1
則P1= P15（0）+ P15（1）=
+
=
……………（6分）
（2）記正面向上為奇數(shù)枚的概率為P2，則有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=+
+…+
=
+…+
)?
………………………（10分）
又“出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚”的事件與“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件是對立事件，記“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件的概率為P3
P3=1?
=
相等
12．（山東實驗）有一批種子，每粒發(fā)芽的概率為，播下5粒種子，計算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒發(fā)芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒發(fā)芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒沒發(fā)芽的概率.
（以上各問結果均用最簡分數(shù)作答）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
13．（蘇錫常鎮(zhèn)一）某種電路開關閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是.從開關第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是
，出現(xiàn)綠燈的概率是
.問：
（Ⅰ）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？
（Ⅱ）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率是多少？
13．解（Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是
；如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為
.………4分 綜上，第二次出現(xiàn)紅燈的概率為+
.……5分
（Ⅱ）由題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有如下三種方式：
①當出現(xiàn)綠、綠、紅時的概率為
；②當出現(xiàn)綠、紅、綠時的概率為
；…9分
③當出現(xiàn)紅、綠、綠時的概率為
；…………………………………………11分
所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為++=
…12分
14．（蘇州）沿某大街在甲、乙、丙三個地方設有紅、綠燈交通信號，汽車在甲、乙、丙三個地方通過（即通過綠燈）的概率分別為
，
，
，對于該大街上行駛的汽車，求：
（Ⅰ）在三個地方都不停車的概率；
（Ⅱ）在三個地方都停車的概率；
（Ⅲ）只在一個地方停車的概率．
14．7、解（1）
；-
（2）
；分
(3)
-------
15．一盒中裝有20個大小相同的彈子球，其中紅球10個，白球6個，黃球 4個，一小孩隨手拿出4個，求至少有3個紅球的概率
15．解：恰有3個紅球的概率P1= 
……4′有4個紅球的概率P2=
……8′
至少有3個紅球的概率P=P1+P2=
…………12′
16．（濟寧）有A、B兩個箱子，A箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；B箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現(xiàn)從A箱中任取1張，從B箱中任取2張，共3張卡片。
求：（Ⅰ）3張卡片都寫有0的概率；（Ⅱ）3張卡片中數(shù)字之積為0的概率。
16．Ⅰ）
（Ⅱ）
17．（宿遷）某產(chǎn)品檢驗員檢查每一件產(chǎn)品時，將正品錯誤地鑒定為次品概率為0.1，將次品錯誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗員鑒定成正品，次品各2件的概率。
17．將3件正品，1件次品鑒定為2件正品，2件次品有兩種可能：
（1）將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中有1件錯誤地鑒定為次品，這時的概率為
。
（2）將原1件次品鑒定為正品，再將3件正品中的2件錯誤地鑒定為次品，這時的概率為
。
于是所求的概率
18．（揚州）（1）如果獵人射擊距離100米遠處的靜止目標3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果獵人射擊距離100米遠處的動物，假如第一次未命中，則進行第二次射擊，但由于槍聲驚動動物使動物逃跑從而使第二次射擊時動物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則必須進行第三次射擊，而第三次射擊時動物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比，。求獵人最多射擊三次命中動物的概率。
（1）記事件“獵人射擊距離100米遠處的靜止目標3次，至少有一次命中”為A事件，
則P(A)=1-P(
)=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）記事件“第
次擊中動物”為事件
（ =1,2,3），記事件“最多射擊3次而擊中動物”為事件B.
由條件P(B1)=0.6, P(B1)=
=0.4, P(B1)=
=0.3,
∵
,且是相互獨立事件,又
、
、
是互斥事件，
∴
=0.832.
18．（鎮(zhèn)江）某班數(shù)學興趣小組有男生和女生各３名，現(xiàn)從中任選２名學生去參加校數(shù)學競賽，求：
（I）恰有一名參賽學生是男生的概率；
（II）至少有一名參賽學生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名參賽學生是男生的概率。
18．（17）基本事件的種數(shù)為
=15種 ）
（Ⅰ）恰有一名參賽學生是男生的基本事件有
=9種 這一事件的概率P1=
=0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名參賽學生是男生這一事件是由兩類事件構成的，即恰有一名參賽學生是男生和兩名參賽學生都是男生所求事件的概率P2=
……（9分）
（Ⅲ）至多有一名參賽學生是男生這一事件也是由兩類事件構成的，即參賽學生沒有男生和恰有一名參賽學生是男生所求事件的概率P3=
19．（南京師大附中）排球比賽的規(guī)則是5盤3勝制，A、B兩隊每盤比賽獲勝的概率都相等且分別為和
.
（Ⅰ）前2盤中B隊以2:0領先，求最后A、B隊各自獲勝的概率;
（Ⅱ）B隊以3:2獲勝的概率.
解:（Ⅰ）設最后A獲勝的概率為
設最后B獲勝的概率為
…………………………………4分
……………………8分
（Ⅱ）設B隊以3:2獲勝的概率為
.
20．（四市聯(lián)考）有外形相同的球分裝在三個不同的盒子中，每個盒子10個球，其中第一個盒子中7個球標有字母A，3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個，試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球，如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率
解：設事件A{從第一個盒子中取得一個標有字母A的球}，事件B={從第一個盒子中取
得一個標有字母B的球}，
則A，B互斥，且P（A）=
，P（B）=
；（4分）
事件C={從第二號盒子中取一個紅球}，
事件D={從第三號盒子中取一個紅球}，
則C，D互斥，且P（C）=
（8分）顯然，事件A?C與事件B?D互斥，且事件A與C是相互獨立的，
B與D也是相互獨立的.所以試驗成功的概率為
（11分）
答：本次試驗成功的概率為
21．有甲、乙兩個籃球運動員，甲投籃的命中率為0.7，乙投籃的命中率為0.6，每人各投籃三
次：
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙兩人投中數(shù)相等的概率。
(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率
;…3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可視為3次獨立重復試驗中乙投中次數(shù)不少于1的事件發(fā)生的概率
……7分
(Ⅲ)分4種情況①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率為
.…………12分
22．（開封2）在袋里裝30個小球，其中彩球有：n個紅色、5個藍色、10個黃色，其余為白球.
求：①如果已經(jīng)從中取定了5個黃球和3個藍球，并將它們編上了不同的號碼后排成一排，那么使藍色小球互不相鄰的排法有多少種？
②如果從袋里取出3個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是
，計算紅球有幾個？
③根據(jù)②的結論，計算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率？
解：①將5個黃球排成一排只有
種排法，將3個藍球放在5個黃球所形成的6個空上，有
種放法 ∴所求的排法為
=5×4×3×2×6×5×4=14400（種）…4分
②取3個球的種數(shù)為
設“3個球全紅色”為事件A，“3個全藍色”為事件B，“3個球全黃色”為事件C. 
∵A、B、C為互斥事件 ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C） 即 
取3個球紅球的個數(shù)≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D，則
為“3個球中沒有紅球”
或 
23．（蘇四2）高三（1）班、高三（2）每班已選出3名學生組成代表隊，進行乒乓球對抗賽，比賽規(guī)則是：
①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽；
②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽；
③先勝兩盤的隊獲勝，比賽結束.
已知每盤比賽雙方勝出的概率均為
（Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？
（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表隊至少勝一盤的概率為多少？
解：（Ⅰ）參加單打的隊員有
種方法.參加雙打的隊員有
種方法. （2分）
所以，高三（1）班出場畫容共有
（4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負，其余兩盤勝.（6分）
所以，連勝兩盤的概率為
（8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少勝盤，可分為：
（1）勝一盤，此時的概率為
（9分）
（2）勝兩盤，此時的概率為
（11分）
所以，高三（1）班至少勝一盤的概率為
（12分）或：
高三（1）班代表隊至少勝一盤的對立事件為輸?shù)羟皟杀P所以，所求概率為
（12分）
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