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雅禮中學(xué)2007屆高三4月質(zhì)檢試題

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．

1．已知函數(shù)，，則的值為

A．                  B．5                C．                    D．3  

【解析】，故選A.

2．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集. 與都是的子集（如圖所示）， 則陰影部分所表示的集合為

A．             B．

C．         D．

【解析】，，，根據(jù)圖形所得陰影部分即為，故選C.

3．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是（表示時(shí)間，單位：秒；表示位移，單位：米），則瞬時(shí)速度為0米每秒的時(shí)刻是

A．0秒、2秒或4秒                                     B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒                        D．0秒、4秒或8秒

【解析】函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得

，解得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義知選D.

4．有共同底邊的等邊三角形和所在平面互相垂直，則異面直線和所成角的余弦值為

A．               B．              C．               D．

【解析】取的中點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則，，，，

，，，故選B.

5．在等差數(shù)列中，若，則的值為

A．4                B．6                    C．8                D．10

【解析】由，

，故選C.

6．若，，則成立的一個(gè)充分不必要條件是

A．           B．               C．         D．

【解析】，故選A.

7．對(duì)于虛數(shù)，作集合，易知，中任何兩個(gè)元素相乘的積仍然在中，現(xiàn)規(guī)定中關(guān)于乘法的單位元：即對(duì)任意的，都有，則為

A．               B．                  C．               D．

【解析】根據(jù)題目給出的信息即知選D.

8．表示不超過(guò)的最大整數(shù)(稱(chēng)為的整數(shù)部分)，則方程在上的根有

A．1個(gè)               B．3個(gè)                C．5 個(gè)            D．無(wú)窮多個(gè)

【解析】，結(jié)合函數(shù)的圖像知有三個(gè)根、0、1，故選B.

9．設(shè)圓：，直線，點(diǎn)，使得存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的取值范圍是

A．          B．             C．            D．

【解析】依題意可得，結(jié)合，即得，故選C.

10．平面上有相異的11個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連成一條直線，共得48條直線，則任取其中的三個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成三角形的概率是

A．               B．                C．               D．

【解析】設(shè)有組共線的點(diǎn)，每組點(diǎn)數(shù)不小于3，依次記為，則有

，而，所以，當(dāng)時(shí)無(wú)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，有整數(shù)解，因此三角形數(shù)為，根據(jù)古典概率的定義有所求概率為.故選B.

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上．

11．已知函數(shù)，且，那么.

【解析】，

故

12．.

【解析】

13．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，線段被拋物線

的焦點(diǎn)分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為.

【解析】根據(jù)題意，得，解得

14．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)（不含x的項(xiàng)）的和為，則的最簡(jiǎn)表達(dá)式是.

【解析】展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，也可以倒序?qū)懗?/p>

，兩式相加即得，故

15．已知△中，過(guò)重心的直線交邊于，交邊于，設(shè)△的面積為，△的面積為，，，則（?），（?）的取值范圍是.

【解析】設(shè)，，，，因?yàn)?sub>是△的重心，故

，又，，因?yàn)?sub>與共線，所以，即，又與不共線，所以及，消去，得.

（?），故；

（?），那么

，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，

，故，故但因?yàn)?sub>與不能重合，故

三．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

16．（本題滿(mǎn)分12分）若函數(shù)的圖像與直線相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若點(diǎn)是圖像的對(duì)稱(chēng)中心，且[0,]，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）

                                            …（4分）

∵的圖像與相切.

∴m為的最大值或最小值.   即或              …（6分）

（Ⅱ）又因?yàn)榍悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列．所以最小正周期為.

又， 所以                                   …（8分）

即                                          …（9分）

令．則      ∴    …（10分）

由0≤≤得或,因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為、．（12分）

17．（本題滿(mǎn)分12分）有一個(gè)4×5×6的長(zhǎng)方體, 它的六個(gè)面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個(gè)長(zhǎng)方體鋸成120個(gè)1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機(jī)地任取1個(gè).

（Ⅰ）設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（Ⅱ）如每次從中任取一個(gè)小正方體，確定涂色的面數(shù)后，再放回，連續(xù)抽取6次，設(shè)恰好取到兩面涂有顏色的小正方體次數(shù)為. 求的數(shù)學(xué)期望. 

解：（Ⅰ）分布列

0

1

2

3

p

                               … （8分）

 E=0×+1×+2×+3×=                                    …（10分）

（Ⅱ）易知～B(6, ),  ∴ E=6×=1.8                              …（12分）

18．（本題滿(mǎn)分12分）如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的大�。�

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；

（Ⅲ）證明五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，并求兩點(diǎn)的球面距離.

解：方法一

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.

故.…（10分）

（Ⅲ）易證△為直角三角形，且，取的中點(diǎn)，則由四邊形是矩形知，故五點(diǎn)在以為球心，為直徑的球面上，故兩點(diǎn)之間的球面距離就是半個(gè)大圓的弧長(zhǎng)，是（12分）

方法二

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.（1分）

（Ⅰ）則，，

，，設(shè)

是平面的法向量，則有

，即，取，

得，易知平面的一個(gè)法向量為，，故所求的角為.（6分）

（Ⅱ），故點(diǎn)到平面的距離為.（10分）

（Ⅲ）易知的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，

而，故五點(diǎn)在以為球心，為直徑的球面上，故兩點(diǎn)之間的球面距離就是半個(gè)大圓的弧長(zhǎng)，是（12分）

19．（本題滿(mǎn)分12分）一艘輪船在相距1000海里的甲、乙兩地之間航行，它的耗油量與速度的平方成正比.當(dāng)輪船每小時(shí)行10海里時(shí)，它的耗油量?jī)r(jià)值500貨幣單位.又此船每行1小時(shí)除耗油費(fèi)用外，其它消耗為常數(shù)貨幣單位，輪船行駛的最大速度是每小時(shí)25海里.

問(wèn)：此船從甲地行駛至乙地最經(jīng)濟(jì)的行船速度是多少？

解：設(shè)從甲地到乙地的行船速度為每小時(shí)海里，則需要的時(shí)間為小時(shí)，耗油量，設(shè)耗油費(fèi)用為貨幣單位，由已知，當(dāng)時(shí)，耗油量，耗油費(fèi)為500貨幣單位，故，

故行船的總費(fèi)用為貨幣單位…（4分）

上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，令，即，

解得…（6分）

又

①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，取到最小值…（9分）

②當(dāng)，即時(shí)，則對(duì)總有，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，有最小值.

綜上所述知，當(dāng)時(shí)，輪船行駛的速度應(yīng)為每小時(shí)海里最經(jīng)濟(jì)；當(dāng)時(shí)，輪船的行駛速度是每小時(shí)25海里最經(jīng)濟(jì). …（12分）

20．（本題滿(mǎn)分13分）不等式