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    北京市西城區(qū)2009年抽樣測(cè)試

    高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                  2009．1

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．

題號(hào)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

分?jǐn)?shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅰ卷  (選擇題  共40分)

 

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

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二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．

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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

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           高三數(shù)學(xué)試卷(文科)                  2009.1

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

A

B

C

C

B

C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．x²-=1  10．14    11．160   12．16π, π  13．①②    14．-3x²+6

注：兩空的題目，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.（本小題滿分12分）

    （Ⅰ）解：因?yàn)閏os B=2cos²-1=，              …………………………3分

          在△ABC中，由余弦定理b²= a²+c²-2accos B,

          得b²=16+9-24×=22，

          所以b=；                              …………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cos B=，B∈（0, π）,

           所以sim B=，               …………………………9分

           由三角形的面積公式S=acsin B,

      得S=×4×3×=.

 所以△ABC的面積為.             …………………………12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格”為事件A.   ……………1分

         由題意，事件A包括以下兩個(gè)互斥事件：

①事件B：有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率公式，得P（B）=C²₃；     ……………… 3分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第1頁(yè)（共8頁(yè)）

②事件C：3件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)都不合格.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式，得

P(C)=()³=；

所以，“至少有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格”的概率為P(A)= P(B)+ P(C)= ；

……………… 6分

（Ⅱ）解：記“甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)比乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格件數(shù)多2件”為事件D.由題意，事件D包括以下兩個(gè)互斥事件:

①     事件E：3件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)都不合格，且有1件乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.其概率

P(E)=()³C¹₃()¹(1-)²=；                  ……………… 9分

②     事件F:有2件甲批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格,且有0件乙批次產(chǎn)品檢驗(yàn)不合格.其概率

P(F)=C²₃()²(1-).(1-)³=;

所以,事件D的概率為P(D)= P(E)+ P(F)=            …………… 12分

17.(本小題滿分14分)

方法一：(Ⅰ)證明：∵平面PCD⊥平面ABCD．

         又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．

         ∴BC⊥平面PCD，        ……………………3分

         ∵PD平面PCD,

    ∴BC⊥PD；  　　　       …………………4分

    (Ⅱ)解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，

       ∵△PCD為正三角形，

       ∴CE⊥PD，

       由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，

       ∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影．

       ∴BE⊥PD，

       ∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角，                  ……………………7分

       在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=，

       ∴tan∠CEB==，

        ∴二面角B-PD-C的大小為arctan;                …………………10分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第2頁(yè)（共8頁(yè)）

（Ⅲ）解：過(guò)D作DF⊥PC于F，

      ∵BC⊥平面PCD，

      ∴BC⊥DF.

             ∵PC∩BC=C.

      ∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,

∴DF為點(diǎn)D到平面PBC的距離,                       …………………13分

  在等邊△PCD中, DC=2, DF⊥PC,

  ∴CF=1,DF=,

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.                    …………………14分

方法二：(Ⅰ)證明：取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，

   ∵PD=PC，∴PO⊥CD，

   ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

   ∴PO⊥平面ABCD，      ………………………2分

    如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)O作OM⊥CD交AB于M,

以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系O-xyz，

    則B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，

    ∵=(0，－l，－)，=(－2，0，0)，

    ∴?=0，

    ∴BC⊥PD；                                           …………………4分

(Ⅱ)解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，如(Ⅰ)建立空間坐標(biāo)系，則E(0，－，)，

    ∵△PCD為正三角形，

    ∴CE⊥PD，

        ∵=(－2，－2，0)，=(－2，－1，)，

        ∴==，

∴BE⊥PD，

∴∠CEB為二面角B-PD- C的平面角，               ………………………7分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第3頁(yè)（共8頁(yè)）

 

        ∵=(2，，-)，=(0，，-)，

        ∴cos∠BEC===，

        ∴二面角B-PD- C的大小為arccos                    ……………10分

(III)解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥平面PBC于F，

    ∴DF為點(diǎn)D到平面PBC的距離，設(shè)=h，

        ∵=(-2，0，0)，= (0，-1，)，

        ∴=0，即BC⊥CP，

        ∴△PBC的面積S_△PBC=|BC|?|PC|=2，

        ∵三棱錐D-PBC的體積V_D-PBC=V_P-BCD，

        ∴S_△PBC=S_△BCD，即，解得h=，

        ∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為．                         ……………14分

18．（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f′(x)= x²-4x+a,                    ………………2分

         由題意，得f′(2)=-4+a=-1，

         所以a=3,

         故f(x)=x³-2 x²+3 x；                                ………………5分

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知f′(x)= x²-4 x+3，

         由f′(x)= x²-4 x+3=0，得x=1，或x=3.

         x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

 

x

(-∞，1)

1

(1，3)

3

(3，+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值0

 

………………8分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第4頁(yè)（共8頁(yè)）

所以,當(dāng)b1或b-13時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值；      ……………………10分

          當(dāng)b-1＜1,且b＞1時(shí),函數(shù)f(x)在x=1時(shí),有極大值,此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值；

          當(dāng)b-1＜3,且b＞3時(shí),函數(shù)f(x)在x=3時(shí),有極小值0,此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值；

          當(dāng)b-11,且b3時(shí), 函數(shù)f(x)無(wú)極值.   ……………………13分

故當(dāng)b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值;

          當(dāng)b∈(1,2)時(shí),函數(shù)f(x)在x=1時(shí),有極大值,此時(shí)函數(shù)無(wú)極小值;

          當(dāng)b∈(3,4)時(shí),函數(shù)f(x)在x=3時(shí),有極小值0,此時(shí)函數(shù)無(wú)極大值.………14分

19．(本小題滿分14分)

    方法一：(Ⅰ)解：由題意，得F(1，0)，直線l的方程為y=x-1．

   由，得x²-6 x +1=0，

          設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A (x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x₀，y₀)，

          則x₁=3+2，x₂=3-2，y₁= x₁-1=2+2，y₂= x₂-1=2―2，

          故點(diǎn)A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，            ……………3分

       所以x₀==3，y₀= x₀-1=2，

          故圓心為M(3，2)，直徑=，

          所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)²+( y-2)²=16；          ………………6分

(Ⅱ)解：因?yàn)?sub>=2，三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線且點(diǎn)A，B在點(diǎn)F兩側(cè)，

     所以=，

     設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A (x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則=（x₁-1，y₁），（1-x₂，-y₂），

     所以                   ①

     因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線C上，

所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，                    ②           ………………10分

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第5頁(yè)（共8頁(yè)）

     由①②，解得    或

     所以A(2,2)，B(,-)，或A(2,-2)，B(,)，………13分

     故直線l的方程為2x-y-2=0，或2x+y-2=0.     ………14分

方法二：(Ⅰ)解:由題意,得F(1,0),直線l的方程為y=x-1.

        由，得x²-6x+1=0,

    設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x₀,y₀),

        因?yàn)椤?6²-4=32＞0,所以x₁+ x₂=6, x₁x₂=1,

        所以x₀==3,y₀= x₀-1=2,故圓心為M(3,2),         ………………3分

        由拋物線定義,得=+=(x₁+)+(x₂+)= x₁+ x₂+p=8,

        所以= x₁+ x₂+P=8(其中p=2).

        所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)²+( y-2)²=16；       ………………6分

(Ⅱ)解：因?yàn)?sub>=2，三點(diǎn)A, F，B共線且點(diǎn)A, B在點(diǎn)F兩側(cè)，

   所以=2，

   設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)則=（x₁-1，y₁），=（1-x₂，-y₂），

所以                    ①         ………………9分

設(shè)直線AB的方程為y= k(x-1)或x=1（不符合題意，舍去）.

由，消去x得ky²-4y-4k=0，

因?yàn)橹本�l與C相交于A, B兩點(diǎn)，所以k≠0，

則Δ=16+16k²>0，y₁+y₂=，y₁ y₂=-4，       ②   

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第6頁(yè)（共8頁(yè)）

 由①②，得方程組，解得或，……13分

       故直線l的方程為x- y-=0，或 x + y-=0.       ……14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:∵數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，

∴(a_n+1+S_n+1)-(a_n+S_n)=2，

即a_n+1=，                                              ……2分

∵a₁=1，

∴a₂=，a₃=；                                             ……4分

(Ⅱ)證明：由題意，得a₁-2=-1，

    ∵

∴{a_n-2}是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列；                    ……8分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得a_n-2=-()^n-1，

    ∴a_n =2-()^n-1，

∵{a_n+S_n}是首項(xiàng)為a₁+ S₁=2，公差為2的等差數(shù)列，

∴a_n+S_n=2+(n-1)×2=2n，

∴S_n=2n-2+()^n-1，                                        ……9分

設(shè)存在整數(shù)λ，使不等式S_n-n+ 1λa_n對(duì)任意的n∈N^*成立，

即存在整數(shù)λ，使不等式n-1+()^n-1λ[2-()^n-1]對(duì)任意的n∈N^*成立，

∴當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，解得λ1，                         ……10分

以下證明存在最大的整數(shù)λ=1，使不等式S_n-n+ 1λa_n對(duì)任意的n∈N^*成立.

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第7頁(yè)（共8頁(yè)）

當(dāng)n=2時(shí),不等式化簡(jiǎn)為，成立；

當(dāng)n3時(shí)，∵（S_n-n+ 1）-a_n=n-3+()^n-2>0，

           ∴（S_n-n+ 1）>a_n成立.

綜上,知存在整數(shù)λ，使不等式S_n-n+ 1λa_n對(duì)任意的n∈N^*成立,且λ的最大值為1.

                                                                     ……14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三數(shù)學(xué)（文科）答案 第8頁(yè)（共8頁(yè)）