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問(wèn)題：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積？

如研究：求圖中陰影部分是由拋物線，直線,x=0以及軸所圍成的平面圖形的面積S。

思考1：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段）

     （2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？

( “以直代曲”的思想)．

把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積．

解：1．分割：在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：

             ，，…，  

記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為

分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作：

           ，，…，

顯然，S≈

（2）以直代曲：記，如圖所示，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，則有△S_i=f()△x=()²   (i=1,2,3,……,n) ①

（3）求和：由①，上圖中陰影部分的面積為S_n====從而得到的近似值

（4）逼近：分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有S→

從數(shù)值上的變化趨勢(shì)（可以電子表格驗(yàn)證）

說(shuō)明：這樣求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近    （“以直代曲”的思想）

思考2：它有什么實(shí)際背景呢？

例1、火箭發(fā)射后t秒內(nèi)的速度為v(t)（單位：米/秒），假定0≤t≤10,對(duì)函數(shù)v(t)按照以直代曲作和有什么實(shí)際意義？

解：將區(qū)間[0,10]分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為△t,每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為t₁,t₂,……,t_n.雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化很小，所以用V(t₁)來(lái)代替火箭在第一小區(qū)間上的長(zhǎng)度，這樣v(t₁)△t≈火箭在第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)行的路程，同理v(t₂)△t≈火箭在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)行的路程，從而S_n=≈火箭在10秒內(nèi)的總路程。

思考：當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)(△t→0)，以上和表示的意義是什么？（表示10秒內(nèi)的總路程）

練習(xí)：汽車以速度勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？（）

例2、如圖，有兩個(gè)電荷A,B，電量分別為q_A,q_B.固定電荷A，將電荷B從距離A為a處移動(dòng)到距離A為b處，求庫(kù)侖力對(duì)電荷B所做的功

解：將[a,b]分成n個(gè)區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為△r，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為r₁,r₂,……,r_n,雖然庫(kù)侖力F=(k為比例常數(shù))不是常數(shù)，但在每個(gè)小范圍內(nèi)其變化很小，所以可以用F(r_i)來(lái)代替第i個(gè)區(qū)間上的庫(kù)侖力，這樣，F(xiàn)(r_i)△r≈庫(kù)侖力在第i個(gè)小區(qū)間上所做的功，S_n=≈電荷B移動(dòng)過(guò)程中庫(kù)侖力所做的總功

思考：當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)(△t→0)，以上式子表示什么意義？（表示a到b所做的功）

練習(xí)：彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功（）

2、變速這樣過(guò)程得到的結(jié)果是路程，變力經(jīng)過(guò)這樣過(guò)程得到的結(jié)果是功

[A組]

1、已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率，則落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為 _______

2、由直線，及ｘ軸圍成平面圖形的面積為_(kāi)_____      

3、如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，求需要做的功

[B組]

4、在曲線上的某點(diǎn)A處做一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程. 

[答案] 1、

2、

3、0.18J

4、

[教后感想與作業(yè)情況]

§1.5.2定積分

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]定積分的概念及加法運(yùn)算

[教學(xué)難點(diǎn)]定積分的加法運(yùn)算

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

復(fù)習(xí)： 1． 回憶前面曲邊圖形面積的步驟：分割→以直代曲→求和→取極限（逼近      

2．對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)．

二．新課講授

1．定積分的概念    一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)

將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，分點(diǎn)非常多（n很大）時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間內(nèi)幾乎沒(méi)有變化，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意值作和式：    *

如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。此時(shí)常常將求和號(hào)∑拉長(zhǎng)，記為：     

其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。

說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是．

     （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限：

（3）幾何意義為曲邊圖形面積：；

推廣說(shuō)明：變速運(yùn)動(dòng)路程；變力F(t)作的功為W=

例1、將和式的極限在n→∞時(shí)表示成定積分為_(kāi)____

解：

練習(xí)：由及軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為　

()

例2、計(jì)算，并說(shuō)明它與+的關(guān)系，2呢

解：作圖知=，=+，2=3=

思考：一般的與A，與+關(guān)系如何？

一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。

考察和式不妨設(shè)

于是和式即為

陰影的面積―陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）

=A,n無(wú)限增大時(shí)有=A

于是有：，，后者可以推廣為

練習(xí)：求和的值（5和1）

兩個(gè)背景――變速運(yùn)動(dòng)路程；變力F(t)作的功為W=；

三塊內(nèi)容――定積分表示方法與求法、、

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、由及軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為　　．

2、某物體運(yùn)動(dòng)的速度v是時(shí)間t的一次函數(shù)，v=kt+b,該物體有速度為0到速度為1時(shí)，其位移為2,從速度為0到速度為2時(shí)位移為6，則速度的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___________

3、

4、當(dāng)f(x)為下列函數(shù)時(shí)，求  (1)f(x)為常數(shù)函數(shù)，即f(x)=c；(2)f(x)=x；(3)f(x)=x².

(4)由上猜測(cè)f(x)=xⁿ時(shí)的積分值

[答案]

1、

2、v=2t+1

3、(1)(b-a)c； (2);  (3)   (4)

[教后感想與習(xí)題情況]

1.5.3微積分的基本定理（1）――內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點(diǎn)]推導(dǎo)過(guò)程

[教學(xué)重點(diǎn)]推導(dǎo)過(guò)程及初步應(yīng)用

[教學(xué)過(guò)程]

2、對(duì)于復(fù)雜的定積分，怎樣計(jì)算？（根據(jù)和進(jìn)行簡(jiǎn)化）

3、以上簡(jiǎn)化后，仍然需要求一個(gè)基本函數(shù)的定積分，如何求？（分割→以直代曲→求和→取極限（逼近））

思考：以上簡(jiǎn)化后最終需要的這個(gè)龐大過(guò)程，簡(jiǎn)單嗎？能否更進(jìn)一步將這個(gè)基本的運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化？

1、回憶上一節(jié)的習(xí)題，我們得到一個(gè)結(jié)論：=，如果設(shè)F(x)=,則被積函數(shù)xⁿ與結(jié)果與F(x)= 有什么關(guān)系？由之能得到一個(gè)什么結(jié)論？（F^/(x)=xⁿ,右邊結(jié)果為F(b)-F(a),從而得到=F(b)-F(a)）

2、問(wèn)題：以上結(jié)論對(duì)一般的函數(shù)是否仍然成立？

3、探究：按照定積分的步驟進(jìn)行

（1）分割：

一般地，設(shè)函數(shù)F^/(x)在區(qū)間上連續(xù)，用分

將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)F^/(x_i-1)(i=1,2,3,…,n)，

（2）以直代曲：分點(diǎn)非常多（n很大）時(shí)，可以認(rèn)為F^/(x)在小區(qū)間內(nèi)幾乎沒(méi)有變化，從而≈F^/(x_i-1),從而F^/(x_i-1)△x≈F(x_i)-F(x_i-1)

(3)求和：

（4）取極限：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，S==[F(x₁)-F(x₀)]+[F(x₂)-F(x₁)]+[F(x₃)-F(x₂)]+…+[F(x_n)-F(x_n-1)]=F(x_n)-F(x₀)=     

F(b)-F(a)

   于是我們得到：對(duì)于在[a,b]上可導(dǎo)的函數(shù)F(x),有：=F(b)-F(a)，由于此式將微積分聯(lián)系起來(lái)，所以我們稱作微積分的基本定理。

   三、結(jié)論應(yīng)用

  例：求下列定積分的值:(1)   (2)   (3)  (4)

解：(1) =-=-=5²-0²-(4×5-4×0)=5

(2) ==1³-0³=1

(3) ==(-cosπ)-（-cos0）=2

(4) ==ln3-ln1=ln3

練習(xí)：教材P51---練習(xí)1，2，3

對(duì)于在(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)F(x),=F(b)-F(a)

五、作業(yè)：教材P52---1(1)(2);2(1)(2),3,4

 [補(bǔ)充習(xí)題]

1、若，則等于________

   A    0      B    1       C     0或1     D   不確定

2、由曲線所圍成圖形的面積是_______________.

3、=___________

4、求由拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值

5*、一物體按規(guī)律x＝bt³作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，物體的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)，阻力所作的功

[答案]

1、1

2、1/3

3、11/3

4、、焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)弦AB、CD過(guò)焦點(diǎn)F，且．

由圖得知：，故．

所求面積為：S=2=．

5*、物體的速度．媒質(zhì)阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0．當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，，又ds=vdt，故阻力所作的功為

[教后感想與作業(yè)情況]

1.5.3微積分的基本定理（1）――分段與復(fù)合應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點(diǎn)]復(fù)合函數(shù)求定積分

[教學(xué)重點(diǎn)]復(fù)合函數(shù)的定積分以及分段函數(shù)的定積分

[教學(xué)過(guò)程]

用之加上兩個(gè)運(yùn)算法則可以將定積分化簡(jiǎn)求出

  例1、給出函數(shù)f(x)=,求的值

分析：被積區(qū)間為[-1,1]，而函數(shù)給出的是從0處的分段函數(shù)，因此，可以將區(qū)間分割為[-1,0]及[0,1]，分別求定積分再求和

解：=+=+=+=[×0³-×(-1)³]+(×1²-×0²)=

練習(xí)1：已知S(x)=,求      （-1）

練習(xí)2：求曲線與軸所圍成的圖形的面積（）

例2、計(jì)算的值   （解答1）

變形1：計(jì)算

（∵(sin2x)^/=2cos2x ∴==-=0）

說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)合函數(shù)的積分

變形2：

（原式==（+）=(+0)=）

變形練習(xí)3：求的值  （結(jié)果：）

思考：如果F^/(x)=f(x),這樣的F(x)惟一嗎？有多少個(gè)？（不惟一，如F(x)+c都可以，有無(wú)數(shù)個(gè)）

[補(bǔ)充作業(yè)][B組]

1、____________

2、設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達(dá)式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.

[C組]

3、拋物線y=ax²＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求S_max．

 [答案]

1、;

2、解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.∴f（x）=x²+2x+c  又方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

3、解 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)  直線x＋y=4與拋物線y=ax²＋bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)，由方程組得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)²＋16a=0．

于是代入（1）式得：，；　

令S'(b)=0；在b＞0時(shí)得唯一駐點(diǎn)b=3，且當(dāng)0＜b＜3時(shí)，S'(b)＞0；當(dāng)b＞3時(shí)，S'(b)＜0．故在b=3時(shí)，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時(shí)，S取得最大值，且．

 [教后感想與作業(yè)情況]