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【典型例題】

【例1】（上海市）（1）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，

為的中點(diǎn)，，．

又，．

，得；

（2）由已知得．

以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，

，即．

解得，即線段的長為；

（3）由已知，以為頂點(diǎn)的三角形與相似，

又易證得．

由此可知，另一對對應(yīng)角相等有兩種情況：①；②．

①當(dāng)時(shí)，，．．

，易得．得；

②當(dāng)時(shí)，，．

．又，．

，即，得．

解得，（舍去）．即線段的長為2．

綜上所述，所求線段的長為8或2．

【例2】（山東青島）（1）在Rt△ABC中，，

由題意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC，

∴，∴，∴．       

（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，∴，∴，

∴．    　

（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，    解得：．

若PQ把△ABC面積平分，則，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分．

（4）過點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四邊形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴， ∴，

∴，解得：．

∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQP ′ C 是菱形．     

此時(shí)，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C邊長為．

【例3】（山東德州）（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．

∴ =．（0＜＜4） 

（2）如圖（2），設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即． 

∴ ，

∴ ．過M點(diǎn)作MQ⊥BC 于Q，則． 

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝． 

∴當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．  

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分兩種情況討論：

① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，．  

∴ 當(dāng)＝2時(shí)，

② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)．

∵ 四邊形AMPN是矩形，  

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．∴ ．

 ＝．

當(dāng)2＜＜4時(shí)，．   

∴ 當(dāng)時(shí)，滿足2＜＜4，．    

綜上所述，當(dāng)時(shí)，值最大，最大值是2．

【例3】（山東德州）（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．

∴ =．（0＜＜4） 

（2）如圖（2），設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即． 

∴ ，

∴ ．過M點(diǎn)作MQ⊥BC 于Q，則． 

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，． ∴ x＝． 

∴ 當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分兩種情況討論：

① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，． 

∴ 當(dāng)＝2時(shí)，

② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)．

∵ 四邊形AMPN是矩形， 

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．∴ ．

 ＝．

當(dāng)2＜＜4時(shí)，．   

∴ 當(dāng)時(shí)，滿足2＜＜4，．    

綜上所述，當(dāng)時(shí)，值最大，最大值是2．

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、（山東威海）（1）分別過D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H．

∵ AB∥CD， 

∴ DG＝CH，DG∥CH． 

∴ 四邊形DGHC為矩形，GH＝CD＝1． 

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．  

∴ AG＝BH＝＝3．

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 

∴ DG＝4．                                

∴ ．   

（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 

∴ ME＝NF，ME∥NF． 

∴ 四邊形MEFN為矩形． 

∵ AB∥CD，AD＝BC，   

∴ ∠A＝∠B． 

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，    

∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF．     

設(shè)AE＝x，則EF＝7－2x．

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，   

∴ △MEA∽△DGA．

∴ ．∴ ME＝．    

 ∴ ． 

當(dāng)x＝時(shí)，ME＝＜4，∴四邊形MEFN面積的最大值為．

（3）能．    

由（2）可知，設(shè)AE＝x，則EF＝7－2x，ME＝． 

若四邊形MEFN為正方形，則ME＝EF． 

    即 7－2x．解，得 ．

∴ EF＝＜4． 

∴ 四邊形MEFN能為正方形，其面積為． 00000000………….

2、（浙江溫州市）（1），，，．

點(diǎn)為中點(diǎn)，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，則．

，，

．

，，

，