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          海
淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
          數(shù)  學(xué)（文科）            
2008.1
           
          學(xué)校          
     班級(jí)         
     姓名          

           
          題號(hào)
          一
          二
          三
          總分
          （15）
          （16）
          （17）
          （18）
          （19）
          （20）
          分?jǐn)?shù)
           
           
           
           
           
           
           
           
           
                 
          一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
          （A）                  （B）-                 （C）                     （D）－
          （2）過兩點(diǎn)(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為                                                (    )
          

          試題詳情
          

          （A）-                    （B）                            （C）3                （D）-3
          （3）已知函數(shù)y=log2 x的反函數(shù)是y=f -1(x),那么函數(shù)y=f -1(x)+1的圖象大致是          (    )
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          （4）已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+ sinθ),且a∥b,則銳角θ等于                            (    )
          （A）30°                 （B）45°                 （C）60°          （D）75°
          

          試題詳情
          

          （5）設(shè)m、n是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個(gè)命題：
          

          試題詳情
          

          ①若∥, ∥,則∥             ②若⊥, m∥,則m⊥
          

          試題詳情
          

          ③若m⊥, m∥,則⊥                   ④若m∥n，n?，則 m∥
          其中真命題的序號(hào)是                                                                                     (    )
          （A）①④                 （B）②③                  （C）②④           （D）①③
          （6）在等差數(shù)列｛an｝中，若a1+a7+a8+a12=12,則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為               (    )
          （A）39                            （B）52                            （C）78                     （D）104
          

          試題詳情
          

          （7）已知點(diǎn)A(0,b),B為橢圓+=1(a>b>0)的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)C在橢圓上，則該橢圓的離心率為                                                                        (    )
          

          試題詳情
          

          （A）                   （B）                  （C）           （D）
          

          試題詳情
          

          （8）已知函數(shù)f(x)= -1的定義域是［a,b］(a,b,∈Z),值域是［0,1］,那么滿足條件
          的整數(shù)數(shù)對(duì)(a,b)共有                                                                                        (    )
          （A）2個(gè)                  （B）3個(gè)                   （C）5個(gè)            （D）無(wú)數(shù)個(gè)
          

          試題詳情
          

          二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)把答案填在題中橫線上.
          （9）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是         
.
          

          試題詳情
          

          （10）把函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=(－,0)平移得到的函數(shù)圖象的解析式為        .
          （11）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M為棱BB1的中點(diǎn)，則異面直線B1D與AM所成
          角的余弦值是        . 
          

          試題詳情
          

          （12）已知函數(shù)f(x)=              
那么不等式f(x)<0的解集為         
.
           
          

          試題詳情
          

          


          
 
          
  
 
          
 
          
  
  
 
          

          

 
          （13）設(shè)不等式組          
所表示的平面區(qū)域?yàn)?i>S，則S的面積為      ;若A,B
           
           
          為S內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，則｜AB｜的最大值為        
.
          

          試題詳情
          

          （14）平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，從這九個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)，最多可確
          定      個(gè)平面;任取四點(diǎn)最多可確定        
個(gè)四面體.(用數(shù)字作答)
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （15）(本小題共13分)
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
          已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
                 （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若f()=2且a2=bc，試判斷
          △ABC的形狀.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （16） (本小題共13分)
          設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且數(shù)列｛Sn｝是以2為公比的等比數(shù)列.
          （Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）求a1+a3+…+a2n+1.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          （17）(本小題共14分)
          如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正
          方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB,點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，
          AN⊥SC,且交SC于點(diǎn)N.
          （Ⅰ）求證：SB∥平面ACM;
          （Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小;
          （Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （18）（本小題共12分）
          某城市有30%的家庭訂閱了A報(bào)，有60%的家庭訂閱了B報(bào)，有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào)，從該城市中任取4個(gè)家庭.
          (Ⅰ)求這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率;
          (Ⅱ)求這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率;
          (Ⅲ)求這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A，B報(bào)都沒有訂閱的概率.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （19）(本小題共14分)
          

          試題詳情
          

          已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.
          （Ⅰ）求拋物線S的方程;
          （Ⅱ）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P,Q是拋物線S上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足OP⊥OQ.試說明動(dòng)直線PQ是否過定點(diǎn).
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          （20）（本小題共14分）
          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象過點(diǎn)(-4n, 0) ,
f′( x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且
          

          試題詳情
          

          f′(0)=2n,(nN*).
          (Ⅰ)求a的值;
          

          試題詳情
          

          (Ⅱ)若數(shù)列｛an｝滿足f′(),且a1=4,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
          (Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的數(shù)列｛an｝，求證a1+a2+a3+…+ak<5(k
=1,2,3…).
           
           
          海
淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
          數(shù)   學(xué)（文科）            

           
          

          試題詳情
          

          一、             
選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
           
          題號(hào)
          （1）
          （2）
          （3）
          （4）
          （5）
          （6）
          （7）
          （8）
          答案
          D
          A
          B
          B
          D
          A
          C
          C
           
          二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
          (9)2    (10)y=sin(2x+
)   
(11)     (12)(-∞,-1)∪(-1,1)    (13)16, 
          (14)72,120
          三、解答題（本大題共6小題，共80分）
          （15）（共13分）
          解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
          =sin2x+cos2x……………………………………………………4分
          ＝2sin(2x+)………………………………………………………5分
          ∴T=, f(x)∈［-2,2］ ……………………………………………7分
          （Ⅱ）由f()=2，有f()=2sin(A+)=2, ………………………………8分
          ∴sin(A+)=1.
          ∵0<A<,∴A+=,即A=.……………………………………10分
          由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,∴(b-c)2=0.
………………12分
          則b=c,∴B=C=.
          ∴△ABC為等邊三角形. ……………………………………………13分
          （16）（共13分）
          解：（Ⅰ）∵S1=a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列，
          ∴Sn=2n-1.……………………………………………………………2分
          又當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.
…………………………5分
          ∴an=         
………………………………………………7分
           
          （Ⅱ）a3,a5,…,a2n+1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，…………9分
          ∴a3+a5+…＋a2n+1=…………………………11分
          ∴a1+a3+…＋a2n+1=1+…………………………13分
          （17）（共14分）
          方法一：
          （Ⅰ）證明：連結(jié)BD交AC于E,連結(jié)ME.…………………………………1分
          ∵ABCD是正方形,∴E是BD的中點(diǎn).∵M是SD的中點(diǎn),∴ME是△DSB的中位線.
          ∴ME∥SB.………………………………………………………………………2分
          又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM, ………………………………………3分
          ∴SB∥平面ACM.………………………………………………………………4分
          （Ⅱ）解：取AD中點(diǎn)F,則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q，連結(jié)MQ. ………5分
          ∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
          ∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.
          ∵FQ⊥AC,
          ∴MQ⊥AC.
          ∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.………………………………………7分
          設(shè)SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=SA=,FQ=DE=a,
          ∴tanFQM=
          ∴二面角D-AC-M的大小為arctan. ………………………………………9分
          （Ⅲ）證明：由條件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.…………10分
          又∵SA=AD,M是SD的中點(diǎn)，∴AM⊥SD.
          ∴AM⊥平面SDC. ………………………………………………………………11分
          ∴SC⊥AM.
          由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
          又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. …………………………………14分
          方法二：
          解：（Ⅱ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐
          標(biāo)系A-xyz, ……………………………5分
          由SA=AB,故設(shè)AB=AD=AS=1,則
          A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
          D(1,0,0),S(0,0,1),M（，0，）.
          ∵SA⊥底面ABCD,
          ∴是平面ABCD的法向量，
          *=(0,0,1).
           
          設(shè)平面ACM的法向量為n=(x, y,
z),
          =(1,1,0), =（），………………………………………………7分
          


          
 
          
  
 
          
 
          
  
  
 
          

          

 
                 
           
          令x=1,則n=(1,-1,-1).  …………………………………………………………8分
          ∴cos＜, n＞=     =      =
          ∴二面角D-AC-M的大小為arccos.………………………………………9分
          （Ⅲ）∵=（，0，），=(-1,-1,1),…………………………………………10分
          ∴? = -+=0.
          ∴⊥.…………………………………………………………………………12分
          又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
          ∴SC⊥平面AMN.又SC平面SAC,
          ∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………………………………………14分
          （18）（共12分）
          解：(Ⅰ)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)”的事件為A,………1分
          P(A)=  (0.3)3(0.7)=0.0756
…………………………………………4分
          答：這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率為0.0756.
          (Ⅱ)設(shè)“這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)”的事件為B,………5分
          P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704…………………………………………8分
          答：這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率為0.8704.
          (Ⅲ)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱”的事件為C, …9分
          因?yàn)橛?0%的家庭訂閱了A報(bào),有60%的家庭訂閱了B報(bào)，
          有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào).所以兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭
          有30%.
          所以P(C)=  (0.3)2(0.7)2=0.2646
…………………………………12分
          答：這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱的概率為0.2646.
          注：第三問若寫出兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭有30%，后面計(jì)算有誤，給到10分.
          （19）（共14分）
          解：（Ⅰ）設(shè)拋物線S的方程為y2=2px.…………………………………………1分
          由可得2y2+py-20p=0.……………………………………3分
          由Δ>0,有p>0,或p<-160.
          設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=.
          ∴x1+x2=（5-）+（5-）=10- =10+.…………………………5分
          設(shè)A(x3,y3)，由△ABC的重心為F（，0）,則
          ∴x3=
          ∵點(diǎn)A在拋物線S上，∴（）2=2p（）,∴p=8.…………………6分
          ∴拋物線S的方程為y2=16x.……………………………………………………7分
          (Ⅱ)當(dāng)動(dòng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0.………
          ……………………………………………………………………………………8分
          設(shè)P(xp,
yp),Q(xQ, yQ),∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
          ∴?=-1，∴xP xQ
+ yP yQ=0.  …………………………………………10分
          將y=kx+b代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.
          ∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動(dòng)直線方程為y=kx-16k=k(x-16).
          此時(shí)動(dòng)直線PQ過定點(diǎn)（16,0）.………………………………………………12分
          當(dāng)直線PQ 的斜率不存在時(shí)，顯然PQ⊥x軸，又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.
          由得到P(16,16),Q(16,-16).
          此時(shí)直線PQ亦過點(diǎn)（16,0）. …………………………………………………13分
          綜上所述，動(dòng)直線PQ過定點(diǎn)M(16,0). ………………………………………14分
          （20）（共14分）
          解：（Ⅰ）由已知，可得f '(x)=2ax+b,  …………………………………………1分
          ∴ 解之得a=.…………………………………………3分
          （Ⅱ）∵∴
          由=2×1
          =2×2
          =2×3
          …
          累加得=n2-n(n=2,3…).………………………………………………6分
          ∴an=（n=2,3…）.
          當(dāng)n=1時(shí)，………………………………………………7分
          ∴an=（n=1,2,3…）.……………………………………………8分
          （Ⅲ）當(dāng)k=1時(shí)，由已知a1=4<5顯然成立;………………………………………9分
          當(dāng)k≥2時(shí),ak=<(k≥2)……………………11分
          則a1+a2+a3+…+ak<4+［(1-)+()+…+ ()］=5-<5
          ………………………………………………………………………………13分
          綜上，a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…)成立. ………………………………14分
           
          說明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.
           
          
				
          
	
          
		
          


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