絕密★啟用前
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)（文史類）（北京卷）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至9頁，共150分，考試時(shí)間120分鐘�？荚嚱Y(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項(xiàng)：
1. 答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。
2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡頗擦干凈后，再選涂其他答案。不能答在試卷上。
一、題共8小題，第小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（2）若a=log, π,b=log,6，c=log20.8,則
（A）a>b>c （B）b>a>c
（C）c>a>b （D）b>c>a
（3）“雙黃線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）即不充分也不必要條件
（4）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°
（5）函數(shù)f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函數(shù)為
（A）f--1(x)=1+(x>1) （B）f--1(x)=1-(x>1)
（A）f--1(x)=1+(x≥1) （A）f--1(x)=1-(x≥1)
(C) 1 (D)2
（7）已知等差數(shù)列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列｛bn｝的前5項(xiàng)和等于
(A)30 （B）45
(C)90 (D)186
（8）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，過點(diǎn)P作垂直平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M、N.設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是
絕密★使用完畢前
2008年普通高等學(xué)校校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)（文史類）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項(xiàng)：
1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2. 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。
題號(hào)
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分?jǐn)?shù)
得分
評(píng)分人
(9)若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,-2),則tan 2α的值為 .
(10)不等式的解集是 .
(11)已知向量a與b的夾角為120°，且｜a｜=|b|=4,那么a?b的值為 .
(12)若展開式的各項(xiàng)數(shù)之和為 ; 各項(xiàng)系數(shù)之和為 .（用數(shù)字作答）
(13)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f(f(0))= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′（1）= .
(14)已知函數(shù)f(x)=x2=-cos x,對(duì)于［－］上的任意x1,x2,有如下條件：
① x1>x2; ②x21>x22; ③|x1|>x2.
其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的條件序號(hào)是 .
得 分
評(píng)分人
（15）（本小題共13分）
已知函數(shù)的最小正周期為π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍.
得 分
評(píng)分人
（16）（本小題共14分）
如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
得 分
評(píng)分人
（17）（本小題共13分）
已知函數(shù)是奇函數(shù).
（Ⅰ）求a,c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
得 分
評(píng)分人
（18）（本小題共13分）
甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率.
得 分
評(píng)分人
（19）（本小題共14分）
已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓上，C在直線l:y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長及△ABC的面積；
（Ⅱ）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時(shí)，求AB所在直線的方程.
得 分
評(píng)分人
（20）（本小題共13分）
數(shù)列{an}滿足
（Ⅰ）當(dāng)a2=-1時(shí)，求λ及a3的值；
（Ⅱ）數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明。演算步驟或證明過程。
（Ⅲ）求λ的取值范圍，使得存在正整數(shù)m,當(dāng)n＞m時(shí)總有an＜0.
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
北京文數(shù)全解全析
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3
至9頁，共150分．考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．不能答在試卷上．
選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．若集合，，則集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用中間值0和1來比較:
3．“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為”
“” “”,如反例: .
4．已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得:
5．函數(shù)的反函數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
所以反函數(shù)為
6．若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域?yàn)橐粋�(gè)三角形,其三個(gè)
頂點(diǎn)分別為,驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí)取得最小值0.
7．已知等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【答案】 C
【解析】由,
所以
8．如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
【答案】B
【解析】取的中點(diǎn)E, 的中點(diǎn)F,連EF,則在平面內(nèi)平行移動(dòng)且當(dāng)P移動(dòng)到的中心時(shí)，MN有唯一的最大值，排除答案A、C；當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，由于總保持所以x與y的關(guān)系是線性的(例如: 取當(dāng)時(shí),
同理,當(dāng)時(shí),有 )
排除答案D,故選B.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．
9．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】
【解析】
10．不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】
11．已知向量與的夾角為，且，那么的值為 ．
【答案】
【解析】
12．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ；各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】10 32
【解析】由得故展開式中常數(shù)項(xiàng)為
取即得各項(xiàng)系數(shù)之和為
的坐標(biāo)分別為，則 ；
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) ．
【答案】2 -2
【解析】
14．已知函數(shù)，對(duì)于上的任意，有如下條件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的條件序號(hào)是 ．
【答案】②
【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則
在區(qū)間上, 函數(shù)為增函數(shù)，
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15．（本小題共13分）
已知函數(shù)（）的最小正周期為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因?yàn)椋�，所以�?/p>
因此，即的取值范圍為．
16．（本小題共14分）
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的大�。�
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．
，．
，平面．
平面，．
（Ⅱ），，
．
又，即，且，
平面．
取中點(diǎn)．連結(jié)．
，．
是在平面內(nèi)的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．二面角的大小為．
解法二：
（Ⅰ），，．
又，．，平面．
平面，．
則．
設(shè)．，
，．
取中點(diǎn)，連結(jié)．
，，，．
是二面角的平面角．
，，，
．二面角的大小為．
17．（本小題共13分）
已知函數(shù)，且是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，對(duì)任意的，，即．
又所以．
所以解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．
當(dāng)時(shí)，由得．變化時(shí)，的變化情況如下表：
0
0
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
18．（本小題共13分）
甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率．
18．（共13分）
解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件，那么，
即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是．
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是．
19．（本小題共14分）
已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且．
（Ⅰ）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長及的面積；
（Ⅱ）當(dāng)，且斜邊的長最大時(shí)，求所在直線的方程．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）因?yàn)�，且邊通過點(diǎn)，所以所在直線的方程為．
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．
由 得．
所以．
又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離．
所以，．
（Ⅱ）設(shè)所在直線的方程為，
由得．
因?yàn)樵跈E圓上，
所以．
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
則，，
所以．
又因?yàn)榈拈L等于點(diǎn)到直線的距離，即．
所以．
所以當(dāng)時(shí)，邊最長，（這時(shí)）
此時(shí)所在直線的方程為．
20．（本小題共13分）
數(shù)列滿足，（），是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求及的值；
（Ⅱ）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；
（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有．
解：（Ⅰ）由于，且．
所以當(dāng)時(shí)，得，故．
從而．
（Ⅱ）數(shù)列不可能為等差數(shù)列，證明如下：由，
若存在，使為等差數(shù)列，則，即，
解得．于是，．
這與為等差數(shù)列矛盾．所以，對(duì)任意，都不可能是等差數(shù)列．
（Ⅲ）記，根據(jù)題意可知，且，即
且，這時(shí)總存在，滿足：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．所以由及可知，若為偶數(shù)，
則，從而當(dāng)時(shí)，；若為奇數(shù)，則，
從而當(dāng)時(shí)．因此“存在，當(dāng)時(shí)總有”
的充分必要條件是：為偶數(shù)，
記，則滿足．
故的取值范圍是．
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