2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）
數(shù) 學(xué)（供文科考生使用）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。
考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A) ?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么 V=πR3
n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點（0，－）、（0，）的距離之和等于4.設(shè)點P的軌跡為C.
(Ⅰ)寫出C的方程；
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點.k為何值時此時||的值是多少？
(22)（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2－3a2x+1(a、b∈R)在x=x1，x=x2處取得極值，且|x1－x2|=2.
(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范圍.
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）
數(shù)學(xué)（供文科考生使用）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么
次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率
其中表示球的半徑
只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ D ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：本小題主要考查集合的相關(guān)運算知識。依題意
，∴.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，
2．若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性。
3．圓與直線沒有公共點的充要條件是（ B ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系。依題圓與直線
沒有公共點
4．已知，，，，則（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小題主要考查對數(shù)的運算。
由知其為減函數(shù),
5．已知四邊形的三個頂點，，，且，
則頂點的坐標(biāo)為（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小題主要考查平面向量的基本知識。
且，
6．設(shè)P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線
傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率問題。依題設(shè)切點的橫坐標(biāo)
為, 且（為點P處切線的傾斜角），又∵，
∴，∴
7．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，
則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小題主要考查等可能事件概率求解問題。依題要使取出的2張卡片上的數(shù)字之和
為奇數(shù)，則取出的2張卡片上的數(shù)字必須一奇一偶，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之
和為奇數(shù)的概率
8．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象，則（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小題主要考查函數(shù)圖像的平移與向量的關(guān)系問題。依題由函數(shù)
的圖象得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向左平移1個
單位，向下平移1個單位；故
9．已知變量滿足約束條件則的最大值為（ B ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域為一個三角形,其三個頂點為
驗證知在點時取得最大值2.
10．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中
安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序
只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ B ）
A．24種 B．36種 C．48種 D．72種
答案：B
解析：本小題主要考查排列組合知識。依題若第一道工序由甲來完成，則第四道工序必由丙來完成，故完成方案共有種；若第一道工序由乙來完成，則第四道工序必由甲、丙二人之一來完成，故完成方案共有種；∴則不同的安排方案共有
種。
11．已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，
則（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D
解析：本小題主要考查雙曲線的知識。取
頂點,一條漸近線為
12．在正方體中，分別為棱，的中點，
則在空間中與三條直線，，都相交的直線（ D ）
A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條
答案：D
解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學(xué)生
的空間想象能力。在EF上任意取一點M,直線與M
確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N, 當(dāng)
M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的
交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點的.如右圖：
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
答案：
解析：本小題主要考查反函數(shù)問題。
所以反函數(shù)是
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
14．在體積為的球的表面上有A、B，C三點，AB=1，BC=，A，C兩點的
球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_________．
答案：
解析：本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離。設(shè)球的半徑為,則
,∴設(shè)、兩點對球心張角為，則
,∴,∴,∴為所在平
面的小圓的直徑，∴,設(shè)所在平面的小圓圓心為，
則球心到平面ABC的距離為
15．展開式中的常數(shù)項為 ．
答案：35
解析：本小題主要考查二項式定理中求特定項問題�？疾榈耐椆�,
所以展開式中的常數(shù)項共有兩種來源:
①②
相加得15+20=35.
16．設(shè)，則函數(shù)的最小值為 ．
答案：
解析：本小題主要考查三角函數(shù)的最值問題。
取的左半圓,作圖(略)易知
17．（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．
（Ⅰ）若的面積等于，求；
（Ⅱ）若，求的面積．
本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合計算能力．滿分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，，
又因為的面積等于，所以，得．???????????????????????????? 4分
聯(lián)立方程組解得，．?????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知條件化為，?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
聯(lián)立方程組解得，．
所以的面積．?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．（本小題滿分12分）
某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結(jié)果
如下表所示：
周銷售量
2
3
4
頻數(shù)
20
50
30
（Ⅰ）根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；
（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求
（?）4周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；
（?）該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率．
本小題主要考查頻率、概率等基礎(chǔ)知識,考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分．
解：（Ⅰ）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3．?????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由題意知一周的銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3，
故所求的概率為
（?）．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（?）．??????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，
并求出這個值；
（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．
本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，
考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．
解法一：
（Ⅰ）證明：在正方體中，，，
又由已知可得，，，
所以，，所以平面．
所以平面和平面互相垂直．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是
，是定值．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：設(shè)交于點，連結(jié)，
所以為與平面所成的角．
因為，所以分別為
，，，的中點．
可知，．
所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
解法二：
以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間
直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故
，，，
，，．
（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得
，
，
．
因為，所以是平面PQEF的法向量．
因為，所以是平面PQGH的法向量．
因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分
（Ⅱ）證明：因為，所以，又，
所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．
在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．???????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由為中點可知，分別為，，的中點．
所以，，因此與平面所成角的正弦值等于
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．（本小題滿分12分）
在數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．
（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，．若，，
求數(shù)列的前項和．
本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，對數(shù)等基礎(chǔ)知識，
考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．滿分12分．
解：（Ⅰ）是等比數(shù)列．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
證明：設(shè)的公比為，的公比為，則
，故為等比數(shù)列．?????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）數(shù)列和分別是公差為和的等差數(shù)列．
由條件得，即
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
故對，，…，
．于是
將代入得，，．???????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
從而有．所以數(shù)列的前項和為
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，點P到兩點，的距離之和等于4，
設(shè)點P的軌跡為．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點．k為何值時？
此時的值是多少？
本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，
考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．
解：
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得，
故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，即．而，
于是．
所以時，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分
當(dāng)時，，．
，
而，
所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)在，處取得極值，
且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．
本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性、極值，最值等基礎(chǔ)知識，
考查綜合利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力．滿分14分
解：．①???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（Ⅰ）當(dāng)時，；
由題意知為方程的兩根，所以．
由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
從而，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．???????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由①式及題意知為方程的兩根，
所以．從而，
由上式及題設(shè)知．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
考慮，．?????????????????????????????????? 10分
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的極大值為．
又在上只有一個極值，所以為在上的最大值，且最小值為．所以，即的取值范圍為． 14分
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