2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
文科數(shù)學(xué)(必修+選修I)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷1至2頁．第Ⅱ卷3至10頁．
考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．不能答在試題卷上．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題
12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
文科數(shù)學(xué)(必修+選修I)
第Ⅱ卷
13．設(shè)向量，若向量與向量共線，則 ．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
14．從10名男同學(xué)，6名女同學(xué)中選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的不同選法共有 種（用數(shù)字作答）
15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩個點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則的面積等于 ．
16．平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認(rèn)為正確的兩個充要條件）
17．（本小題滿分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，求的面積．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈．根據(jù)以往資料知，甲擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.6，0.3，0.1，乙擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.4，0.4，0.2．
設(shè)甲、乙的射擊相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；
（Ⅱ）求在獨(dú)立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率．
20．（本小題滿分12分）
如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．
（Ⅱ）求二面角的大�。�
21．（本小題滿分12分）
設(shè)，函數(shù)．
（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
評分說明：
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要
考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．
2．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和
難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題不給中間分．
一、選擇題
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D
7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C
二、填空題
13．2 14．420 15．2
16．兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．
1．若且是，則是（ ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
【答案】C
【解析】,在三、四象限；，在一、三象限，∴選C
2．設(shè)集合，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，∴
【高考考點(diǎn)】集合的運(yùn)算，整數(shù)集的符號識別
3．原點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【高考考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式
4．函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）
A．軸對稱 B． 直線對稱
C． 坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D． 直線對稱
【答案】C
【解析】是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
【高考考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
5．若，則（ ）
A．<< B． << C． << D． <<
【答案】C
【解析】由，令且取知<<
6．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
于是
7．設(shè)曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與直線平行，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】，于是切線的斜率，∴有
8．正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)棱與底面所成的角為，則該棱錐的體積為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【解析】高，又因底面正方形的對角線等于，∴底面積為
，∴體積
【備考提示】在底面積的計算時，要注意多思則少算
9．的展開式中的系數(shù)是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【易錯提醒】容易漏掉項(xiàng)或該項(xiàng)的負(fù)號
10．函數(shù)的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】，所以最大值是
【高考考點(diǎn)】三角函數(shù)中化為一個角的三角函數(shù)問題
【備考提示】三角函數(shù)中化為一個角的三角函數(shù)問題是三角函數(shù)在高考中的熱點(diǎn)問題
11．設(shè)是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意,所以，由雙曲線的定義，有
，∴
【高考考點(diǎn)】雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，雙曲線第一定義的應(yīng)用
12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為、，球心為，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則為矩形，于是對角線,而，∴
【高考考點(diǎn)】球的有關(guān)概念，兩平面垂直的性質(zhì)
13．設(shè)向量，若向量與向量共線，則 ．
【答案】 2
【解析】＝則向量與向量共線
14．從10名男同學(xué)，6名女同學(xué)中選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的不同選法共有 種（用數(shù)字作答）
【答案】 420
【解析】
15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩個點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則的面積等于 ．
【答案】 2
【解析】設(shè)過M的直線方程為，由
∴，，由題意，于是直線方程為
，，∴，焦點(diǎn)F（1，0）到直線的距離
∴的面積是2
16．平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認(rèn)為正確的兩個充要條件）
【答案】兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．
三、解答題
17．解：
（Ⅰ）由，得，
由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
所以．??????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）由正弦定理得．?????????????????????????????????????????????????? 8分
所以的面積．????????????????????????? 10分
18．解：
設(shè)數(shù)列的公差為，則
，
，
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
由成等比數(shù)列得，
即，
整理得，
解得或．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
當(dāng)時，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
當(dāng)時，，
于是．????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．解：
記分別表示甲擊中9環(huán)，10環(huán)，
分別表示乙擊中8環(huán)，9環(huán)，
表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，
表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，
分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)．
（Ⅰ），????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ），???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
，
，
．????????????????????????????????? 12分
20．解法一：
依題設(shè)，，．
（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．
由三垂線定理知，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
由于，
故，，
與互余．
于是．
與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，
所以平面．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，
故是二面角的平面角．????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
，
，．
，．
又，．
．
解法二：
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
依題設(shè)，．
，．?????????????????????????????????? 3分
（Ⅰ）因?yàn)�，�?/p>
故，．
又，
所以平面．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則
，．
故，．
令，則，，．?????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小為．????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．解：
（Ⅰ）．
因?yàn)槭?a >函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)．??????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由題設(shè)，．
當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時，
，
即．
故得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
反之，當(dāng)時，對任意，
，
而，故在區(qū)間上的最大值為．
綜上，的取值范圍為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，．???????????????????????????????????????????? 2分
如圖，設(shè)，其中，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化簡得，
解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又，所以四邊形的面積為
，
當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號．所以的最大值為．????????????????????????????? 12分
解法二：由題設(shè)，，．
設(shè)，，由①得，，
故四邊形的面積為
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，
當(dāng)時，上式取等號．所以的最大值為．?????????????????????????????????????????????? 12分
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