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[文件]  sxglija0030.doc

[科目]  數(shù)學(xué)

[年級(jí)]  高中

[章節(jié)] 

[關(guān)鍵詞]  錐體/體積

[標(biāo)題]  錐體的體積

[內(nèi)容]

錐體的體積

北京陳經(jīng)綸中學(xué)  丁益祥

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生掌握錐體的體積公式及其初步應(yīng)用；

2.通過三棱錐體積公式的探求，教學(xué)生學(xué)習(xí)觀察、類比、歸納、猜想等合理推理方法，培養(yǎng)

學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力；

3.通過三棱錐體積公式的探求，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、刻苦鉆研、孜孜以求的毅力及勇于探索

創(chuàng)新的精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

三棱錐體積公式及其探求.

教學(xué)設(shè)計(jì)過程

師:前幾節(jié)課我們先后學(xué)習(xí)了祖■原理和柱體的體積公式，在開始講本章知識(shí)下久，我們還

學(xué)習(xí)了錐體平行于底面的截面的性質(zhì).現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們分別回憶一下上述三個(gè)知識(shí)內(nèi)容，誰來

回答錐體平行于底面的截面的性質(zhì)是什么?

生1:如果棱錐(或圓錐)被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的

比等于截得的棱錐(或圓錐)的高和原棱錐(或圓錐)高的平方比.

師:很好!下面誰來回答祖■原理是如何敘述的?

生2:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得

的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

師:回答正確.請(qǐng)同學(xué)們一起回答:柱體的體積公式是怎么表示的?

生:柱體的體積等于它的底面積乘以高，即V柱體=Sh.

師:當(dāng)這個(gè)柱體是圓柱時(shí)，其體積還有別的表達(dá)形式嗎?

生3:V圓柱=πr2h,其中r是底面半徑，h是圓柱的高.

師:不錯(cuò).誰能說說底面積是S，高是h的柱體體積公式的探求思路嗎?

生4:我們構(gòu)造一個(gè)與所給柱體等底面積等高的長方體，把它與所給柱體的下底面放在同一

個(gè)平面α上.由于它們上、下底面平行，且等高，故它們的上底面必在與α平行的同一個(gè)平

面β內(nèi)，現(xiàn)在用平行于α的任意平面去截它們時(shí)，由于所得的截面都與它們的底面分別平行

，因此截面積都等于S.由祖■原理知，它們的體積相等，而V長方體=Sh，所以V柱體=Sh.

師:很好!生4利用祖■原理獲得了等底面積等高的柱體與長方體(兩個(gè)柱體)等體積，那么等

底面積等高的兩個(gè)錐體的體積之間有什么關(guān)系呢?(師邊問邊板書“等底面積等高的兩個(gè)錐體

的體積之間的關(guān)系”一語)

生:相等.

師:你們?cè)趺粗�道它們的體積是相等的.

生:猜想的.(也有的說是估計(jì)的)

師:猜想也好，估計(jì)也罷，都是有風(fēng)險(xiǎn)的，盡管如此，但它常常是“發(fā)現(xiàn)”的先導(dǎo).能證實(shí)

你們的猜想嗎?

生5:用祖■原理.設(shè)有任意兩個(gè)錐體，不妨選取一個(gè)三棱錐，一個(gè)圓錐，并設(shè)它們的底面

積都是S，高都是h(如圖1).①把這兩個(gè)錐體的底面放在同一個(gè)平面α上，由于它們的高相

等，故它們的頂點(diǎn)必在與α平行的同一個(gè)平面β上，即這兩個(gè)錐體可夾在兩個(gè)平行平面α，

β之間；②用平行于平面α的任意平面去截這兩個(gè)錐體，設(shè)截面面積分別為S₁，S₂，截面和

頂點(diǎn)的距離是h₁,體積分別為V₁，V₂，則由錐體平行于底面的截面性質(zhì)知:

所以=，   故S₁=S₂.

由祖■原理知:V₁=V₂.

(生敘述師板書)

師:完全正確!我們?cè)僬?qǐng)一位同學(xué)用命題的形式完整地?cái)⑹鲆幌律鲜鰡栴}的條件和結(jié)論.

生6:如果兩個(gè)錐體的底面積相等，高也相等，那么它們的體積相等.

師:同學(xué)們對(duì)生6的概括有不同意見嗎?

生:沒有!

師:生6的概括是正確的，但我們可以敘述得更簡練一些.

生6:對(duì)了，可以敘述為:等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等.

師:很好!這個(gè)命題是課本中第100頁的定理.(師隨即把前面板書的“等底面積等高的兩個(gè)

錐體體積之間的關(guān)系”一語中的“之間的關(guān)系”五字擦掉，補(bǔ)上“相等”二字，同時(shí)在前面

添上“定理”二字)我們干脆請(qǐng)生6再重申一下:定理有哪幾個(gè)條件?結(jié)論是什么?

生6:條件有兩個(gè):一個(gè)是兩個(gè)錐體的底面積相等，另一個(gè)是這兩個(gè)錐體的高相等.結(jié)論是體

積相等.

(由學(xué)生提出問題、分析問題并解決問題，這是對(duì)學(xué)生最高層次的要求.當(dāng)學(xué)生達(dá)不到這個(gè)

層次時(shí)，可由老師提出問題，學(xué)生分析問題和解決問題.老師提出問題后要給學(xué)生觀察、比

較、分析、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的時(shí)間.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出:只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程

稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明的過程，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合理推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?猜想后還要嚴(yán)

格地證明，合情推理與邏輯推理并重，既教證明又教猜想，這才是解決問題的完整過程.)

師:上述定理只是回答了具有等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積之間的相等關(guān)系，但這個(gè)體積

如何求出，能否像柱體那樣有一個(gè)體積公式仍然是一個(gè)謎.然而它卻給我們求錐體體積一個(gè)

有益的啟示:只須找到一個(gè)“簡單”的錐體作為代表，如果這個(gè)代表的體積求出來了，那么

，由上述定理即可獲得其它錐體的體積了.請(qǐng)同學(xué)們思考用怎樣的“簡單”錐體作代表來研

究呢?

生:三棱錐!(一小部分同學(xué)有些疑惑)

師:能說說你們的想法嗎?

生7:因?yàn)槲覀冚^熟悉棱錐，而在棱錐中，三棱錐底面多邊形的邊數(shù)量少，似乎要更“簡單

”些.

師:有道理!我們選出的“代表”當(dāng)然應(yīng)該首先是我們熟悉的，由于三角形是最簡單的多邊

形，類比地，我們有理由這樣說，三棱錐是較“簡單”的棱錐.那么，怎樣研究三棱錐的體

積呢?(板書:三棱錐的體積，并作出一個(gè)底面積為S的，高為h的三棱錐A′-ABC，如圖2)

生:……(思維受阻)

師:(啟發(fā)一下)請(qǐng)同學(xué)們回憶一下求如下兩個(gè)圖形(圖3)面積的方法:

生8:對(duì)(1)可將它分成一個(gè)半圓和一個(gè)正方形，分別計(jì)算出它們的面積，再相加即可；對(duì)(2

)，可將三角形先補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積，再除以2即得三角形

面積.

(在生8敘述時(shí)，師圖示如下)

師:先割后補(bǔ)與先補(bǔ)后割是處理幾何問題時(shí)常用的方法，即我們常說的割補(bǔ)法.類比地，能

否將這一思維方式遷移到探求三棱錐的體積上來呢?

生:(幾乎異口同聲地)能!

師:那么是采用先割后補(bǔ)，還是先補(bǔ)后割呢?鄰近的同學(xué)可以相互討論一下.

(學(xué)生之間小聲討論，選擇這兩種方法的學(xué)生都有)

師:我們請(qǐng)一位同學(xué)說說自己選擇的方法及其理由，誰來說?生9想好了嗎?

生9:我認(rèn)為先補(bǔ)后割比較好，至于先割后補(bǔ)，我覺得不行.

師:能說說否定先割后補(bǔ)的理由嗎?

生9:……(似有難色)

師:誰能試著割一下?

生10:對(duì)一個(gè)三棱錐進(jìn)行分割，實(shí)際上是用一個(gè)平面去截它.無論怎么截，得到的要么仍是

三棱錐，要么是比三棱錐更為復(fù)雜的幾何體.所以對(duì)三棱錐再分割是不合適的.

師:其他同學(xué)以為如何?

生:生10的解釋是對(duì)的.

師:既然如此，我們可否定先割后補(bǔ)，而肯定先補(bǔ)后割，剛才生9就是這個(gè)意見，現(xiàn)在也是

大家的意見了，那么，補(bǔ)成怎樣的幾何體較合適呢?

生:補(bǔ)成三棱柱.

師:誰能具體說說?

生11:把三棱錐A′-ABC以底面ΔABC為底面，AA′為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)三棱柱ABC-A′B′C′

.

師:請(qǐng)你在黑板上具體補(bǔ)出來.

生11:(上黑板補(bǔ)畫圖形如圖5)

師:生11完成了補(bǔ)形的任務(wù)，下面該進(jìn)行什么工作了?

生:分割.

師:如何分割.

生:分割成三個(gè)三棱錐.

師:請(qǐng)生12上來具體分割一下.

(生12上黑板分割三棱柱ABC-A′B′C得三棱錐1，2，3.如圖6)

師:很好!生12的圖形畫得很規(guī)范.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們預(yù)測(cè)一下分割而得的三個(gè)三棱錐之間有何

關(guān)系?

生:體積相等.

師:能簡要地說明你們預(yù)測(cè)的依據(jù)嗎?

生13:我沒有證明，但我想它們的體積應(yīng)該相等，這是因?yàn)閯偛呕貞浨笕�角形面積時(shí)，將三

角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形(平面圖形)后再分割成的兩個(gè)三角形等面積.類比地，我們將三棱

錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱(空間圖形)后再分割成三個(gè)三棱錐當(dāng)然應(yīng)該體積相等.

師:生13由平面圖形的處理結(jié)果類比地預(yù)測(cè)空間圖形的相應(yīng)結(jié)果不無道理.同學(xué)們的預(yù)測(cè)實(shí)

際上也是我們的希望.而怎樣使我們的希望、預(yù)測(cè)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，還需要嚴(yán)格證明，那么怎樣證

明這三個(gè)三棱錐1，2，3等體積呢?

(引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)錐體等體積的依據(jù)――前面定理的條件:(1)等底面積，(2)等高)

生14:(生14敘述，師板書)在三棱錐1，2中，S_ΔABA′=S_ΔB′A′B，又由于它們有相同頂

點(diǎn)C，故高也相等，所以V₁=V₂.又在三棱錐2，3中，S_ΔBCB′=S_ΔB′C′C，它們有相同頂

點(diǎn)A′，故高也相等.所以V₂=V₃，所以V₁=V₂=V₃.

生15:在證得V₁=V₂后，再證明V₁=V₃也很方便.

(生15敘述，師板書)

因?yàn)樵谌�棱錐1，3中，S_ΔABC=S_{ΔA′B′C′}，高也相等(都等于三棱錐的高).所以V₁=V₃.

故V₁=V₂=V₃=V_三棱柱.而V_三棱柱=Sh，

所以  V_三棱錐=Sh.

師:非常好!到目前為止，我們已經(jīng)解決了三棱錐的體積問題，也就是說，解決了一個(gè)“錐

體大家庭”中的“代表”的體積問題.那么一般錐體的體積又如何呢?(設(shè)一般錐體的底面積

為S，高為h)

生:V_錐體=Sh.(師板書)

師:誰能對(duì)這一結(jié)果的來源作出解釋?

生16:構(gòu)造一個(gè)三棱錐，使其底面積為S，高為h，由于等底面積等高的錐體的體積相等，故

V錐體=V三棱錐=1  3Sh.

(教學(xué)生學(xué)會(huì)證明是重要的，讓學(xué)生對(duì)某一問題作出解釋也是必要的.它可以使學(xué)生從整體

上把握問題的來龍去脈，在某種情況下比只讓學(xué)生機(jī)械的證明要好.它是培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)

能力，數(shù)學(xué)交流能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑.)

師:生16從整體上就一般錐體的體積公式的獲得作了簡明扼要的解釋.我們知道，圓錐是一

類典型的特殊錐體，對(duì)于圓錐的體積，有何別的表達(dá)式?

生17:V_圓錐=πr2h.(師板書)

師:這里r,h的意義分別是什么?

生17:r表示圓錐的底面半徑，h表示圓錐的高.

師:至此，我們已獲得了錐體的體積公式V_錐體=Sh.對(duì)圓錐來說，還可以用底面半徑r及

高h(yuǎn)來表達(dá)體積，即V_圓錐=πr2h.作為應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們看這樣一個(gè)問題:

(用投影儀打出)

(由課本第103頁練習(xí)題1改編)

如圖7，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，已知棱長為a，求:

(1)三棱錐B′-ABC的體積；

(2)這個(gè)三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾；

(3)B到平面AB′C的距離?

(若沒時(shí)間，可留做課后思考，要求用兩種方法求解)

(請(qǐng)生18解答(1)，(2)，生19解答(3)，其余同學(xué)在座位上完成，師巡視)

(生18板演(1)(2))

(1)因?yàn)?nbsp; 正方體棱長為a，所以  S_ΔABC=a，高h(yuǎn)=a.

所以V_B′-ABC=SΔABC?h=?a?a=a.

(2)因?yàn)?nbsp; V_正方體=a，

所以V_B′-ABC∶V_正方體=.

(生19板演(3))

解法1:如圖8.

過B作BO⊥面AB′C于O，則O必為ΔAB′C的重心.連AO并延長交B′C于M，

因?yàn)?nbsp; AB′=B′C=CA=a,

所以  AM=?a=a,OA=AM=a.

在RtΔAOB中，BO==，

即B到面AB′C的距離為a.

解法二:

設(shè)B到面AB′C距離為h,

因?yàn)?nbsp; AB′=B′C=CA=a，

所以  SΔAB′C= (a)=a，

因此  ?a?h=V_B-AB′C= V_B′-ABC =?a?a=a，

故h=a 即B到面AB′C的距離為a.

(師生共同評(píng)判)

師:我們讓生19說說解法二的思路.

生19:我注意到三棱錐B?AB′C與三棱錐B′?ABC是同一個(gè)三棱錐.

所以 ?S_ΔAB-C?h=V_B-AB′C=V_B-ABC，而V_B′-ABC易求，S_ΔAB′C也易求，這樣h

即可求出.

師:非常好.生19的方法一是常規(guī)方法，而方法二則巧用了三棱錐的體積，使問題的求解變

得十分簡捷.這種方法稱作頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換法，有時(shí)也稱作等積轉(zhuǎn)換法.事實(shí)上三棱錐(即四面體)的

每一個(gè)頂點(diǎn)都可作為棱錐的頂點(diǎn)，和它相對(duì)的面都可作為相應(yīng)的底面，這是三棱錐(四面體)

特有的性質(zhì).在一定的條件下，它為我們求解頂點(diǎn)到底面的距離提供了捷徑，應(yīng)當(dāng)引起我們

的注意.

今天這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了錐體的體積公式，下面請(qǐng)同學(xué)們就知識(shí)和思維能力兩個(gè)方面作一

下小結(jié).(請(qǐng)學(xué)生自行小結(jié)，師生共同補(bǔ)充完善)

1.知識(shí)方面:通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我們利用割補(bǔ)法獲得了三棱錐的體積公式，進(jìn)而獲得了一般

錐體的體積公式，并初步體會(huì)了其應(yīng)用；

2.思維能力方面:又一次體會(huì)了聯(lián)想、類比、猜測(cè)、證明等合情推理及邏輯推理的方法在探

索新知識(shí)方面的重要作用.

作業(yè):略.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的制定

在課堂教學(xué)中實(shí)施和推進(jìn)素質(zhì)教育，正愈來愈被廣大教師所重視.由于學(xué)生的素質(zhì)是多方面

的，這就決定了課堂教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)該是多元化的.

(1)錐體的體積是多面體和旋轉(zhuǎn)體這一章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在體積問題中有著重要的地位，

將錐體的體積公式及其初步應(yīng)用作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一是完全合適的.

(2)學(xué)生思維方法的好與差，推理能力的強(qiáng)與弱，在一定程度上反映了學(xué)生素質(zhì)的高與低.

因此，如何通過課堂教學(xué)，教學(xué)生學(xué)習(xí)合情推理的方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，是我們制

定教學(xué)目標(biāo)時(shí)必須認(rèn)真思考的.

(3)未來社會(huì)不僅要求人們具有豐富的文化科學(xué)知識(shí)，而且還需要人們具有頑強(qiáng)的毅力及創(chuàng)

新的意識(shí).教學(xué)目標(biāo)3正是據(jù)此而制定的.

2.關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的確定

本節(jié)課的核心內(nèi)容是錐體的體積，而錐體體積公式的探求需要教師逐步喚醒學(xué)生割補(bǔ)思想的

記憶，努力使學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)知識(shí)，掌握知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，這對(duì)教師和學(xué)生都是

較高的高求.因而錐體的體積公式及其探求既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn).

3.關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

本節(jié)課按如下五個(gè)方面展開:

(1)復(fù)習(xí)三個(gè)問題――①錐體平行于底面的截面的性質(zhì)；②祖■原理；③柱體的體積公式及

其探求思路；

(2)等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積之間的關(guān)系；

(3)三棱錐的體積公式的探求；

(4)一般錐體的體積公式，圓錐的體積公式；

(5)錐體體積公式的簡單應(yīng)用.

有目的地做好舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，為順利地進(jìn)行新課的講授奠定了基礎(chǔ).(1)中的三個(gè)復(fù)習(xí)題主

要是為推導(dǎo)“等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等”這一定理而準(zhǔn)備的.提問時(shí)應(yīng)注意必要

的順利.

這里，祖■原理在問題③的回答中要應(yīng)用，因而放在③前面提問.而由問題③的“探求思路

”的回答中，利用祖■原理獲得了“等底面積等高的柱體和長方體等體積”的結(jié)論，很自然

地讓人產(chǎn)生“等底面積等高的錐體體積之間有何關(guān)系”的聯(lián)想.這樣，舊課的復(fù)習(xí)很自然地

過渡到了新課的講授.因此，把問題③放在最后復(fù)習(xí)比把問題①放在最后復(fù)習(xí)要好得多.

“等底面積等高的錐體的體積相等”這一結(jié)論是推導(dǎo)三棱錐體積公式的重要工具.由復(fù)習(xí)題

③中“探求思路”的回憶，引導(dǎo)學(xué)生先猜后證，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)知識(shí)，自行“制造”推導(dǎo)三

棱錐體積公式的“工具”，這是發(fā)揮學(xué)生主體作用的重要體現(xiàn).

三棱錐體積公式的探求是本節(jié)課的核心內(nèi)容，如果像教材中那樣，直接將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三

棱柱，然后將其分割成三個(gè)三棱錐，再求體積，那么，雖然教師備課可以少用許多時(shí)間，然

而，學(xué)生對(duì)“怎樣想到利用割補(bǔ)法”，“為什么要先補(bǔ)后割”往往疑惑不解.這里，在(3)

中插入兩個(gè)幾何圖形面積公式的探求思路的回憶，旨在喚醒學(xué)生割補(bǔ)思想的記憶，啟發(fā)學(xué)生

的思維.通過聯(lián)想類比，學(xué)生感悟探求三棱錐體積也用割補(bǔ)法已水到渠成.爾后，圍繞“先

割后補(bǔ)”還是“先補(bǔ)后割”的問題，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手一試，相互討論，比較優(yōu)劣，從而肯

定“先補(bǔ)后割”，并對(duì)“如何補(bǔ)，怎樣割”，鼓勵(lì)學(xué)生自己操作.最后，讓學(xué)生自己推導(dǎo)公

式，這是對(duì)學(xué)習(xí)主體的尊重，這樣做旨在為學(xué)生掃清這一知識(shí)形成過程中的思維障礙，使整

個(gè)思維過程和知識(shí)形成過程構(gòu)成一個(gè)完美的統(tǒng)一體.顯然，這種教學(xué)氛圍的營造，使學(xué)生在

舊知識(shí)的溫故中，發(fā)現(xiàn)了打開新知識(shí)寶庫大門的鑰匙，在探索知識(shí)奧秘的征途上，創(chuàng)造性的

邁開了自己堅(jiān)實(shí)的一步.學(xué)生表現(xiàn)出了極強(qiáng)的思維積極性和探索毅力，創(chuàng)新意識(shí)，創(chuàng)造能力

和創(chuàng)造精神得到了培養(yǎng).

由三棱錐體積公式的探求到一般錐體體積公式的獲得，再到圓錐體積公式的表達(dá)，這是特殊

―一般―特殊的思維過程.經(jīng)常有意識(shí)的進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的思維方法、思維能力必將

得到極大的提高.