高三摸底數(shù)學(xué)(文科) 第頁(共8頁)
贛州市2009年高三年級摸底考試
文 科 數(shù) 學(xué)2009年3月
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每一小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，則“m∈A”是“m∈B”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.已知函數(shù)f(x)＝則f[f()]的值是
A.9 B. C.－9 D.－
3.已知(x－)8展開式中的常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和為
A.28
B
4.已知橢圓＋＝1，且m，n，m＋n成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
5.有下列命題：
①函數(shù)f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2；
②在△ABC中，若sin
③如果正實數(shù)a，b，c滿足a＋b＞c，則＋＞；
④如果y＝f(x)是奇函數(shù)(x∈R)，則有f(0)＝0.
其中正確的命題是
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.②③
6.已知a，b為空間兩條異面直線，A是直線a，b外一點，則經(jīng)過A點與兩條異面直線a，b都相交的直線的可能情況為
A.至多有一條 B.至少有一條
C.有且僅有一條 D.有無數(shù)條
7.在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項之和S9等于
A.66 B
8.設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，△ABC的三個頂點都在此拋物線上，且＋＋＝0，則||＋||＋||等于
A.3 B
9.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，則g(x)＝f(x2)的最大值為
A.1 B
10.已知x，y滿足約束條件則z＝的最小值為
A. B. C.4 D.－
11.方程2sin θ＝cos θ在[0,2π)上解的個數(shù)是
A.0個 B.1個 C.2個 D.4個
12.已知C為線段AB上的一點，P為直線AB外一點，滿足||－||＝2，|－|＝2，＝，I為PC上一點，且＝＋λ(＋)(λ＞0)，則的值為
A.1 B
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.
13.某市A、B、C三個區(qū)共有高中學(xué)生20000人，其中A區(qū)高中學(xué)生9000人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個區(qū)所屬高中學(xué)生中抽取一個容量是600人的樣本進(jìn)行新課程學(xué)習(xí)作業(yè)的調(diào)查，則A區(qū)應(yīng)抽取 人.
14.若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離是2π，則ω的值為 .
15.已知棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在它四個頂點的空隙處各放一個小球，則這些球的最大半徑為 .
16.五個同學(xué)傳一個球，球從小王同學(xué)手中首先傳出，第五次傳球后，球回到小王手中的概率是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，且x∈[0，].
(1)求a?b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a?b－2λ|a＋b|的最小值為－，求λ的值.
18.(本小題滿分12分)
一個不透明的箱子內(nèi)裝有材質(zhì)、重量、大小相同的7個小球，且每個小球的球面要么只寫有數(shù)字“08”，要么只寫有文字“奧運”.假定每個小球每一次被取出的機會都相同，從中摸出2個球都寫著“奧運”的概率是，現(xiàn)甲、乙兩人做游戲，方法是：不放回地從箱子中輪流摸取一個球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到兩人中有一人取得寫著文字“奧運”的球時游戲結(jié)束.
(1)求該箱子內(nèi)裝著寫有數(shù)字“
(2)求當(dāng)游戲結(jié)束時總球數(shù)不多于3的概率.
19.(本小題滿分12分)
如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G為△ABC的重心，M為GD的中點.
(1)求直線DG與平面ABC所成的角；
(2)求異面直線CG與MB所成的角；
(3)求二面角G―MC―B的大小.
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20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增.
(1)求實數(shù)a的值；
(2)若關(guān)于x的方程f(2x)＝m有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)
設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項和，An＝(an－1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝4n＋3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)把數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，求證：數(shù)列{dn}的通項公式為dn＝32n＋1.
22.(本小題滿分12分)
已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點P滿足|PF1|－|PF2|＝2，記點P的軌跡為S，若直線l過點F2且與軌跡S交于P、Q兩點.
(1)求軌跡S的方程；
(2)無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值；
(3)過P、Q作直線x＝的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ＝，求λ的取值范圍.
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1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D
13.270 14. 15. 16.
17.解：(1)a?b＝cosx?cos－sinx?sin＝cos 2x.2分
|a＋b|＝＝＝2.4分
又∵x∈[0，]，∴cos x＞0，∴|a＋b|＝2cos x.5分
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.6分
①當(dāng)0≤λ≤1時，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝λ時，f(x)取得最小值－1－2λ2，
∴－1－2λ2＝－，解得λ＝.8分
②當(dāng)λ＞1時，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝1時，f(x)取得最小值1－4λ，
∴1－4λ＝－，解得λ＝(舍).10分
③當(dāng)λ＜0時，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝0時，f(x)取得最小值－1，無解.11分
綜上所述，λ＝為所求.12分
18.解：(1)設(shè)箱子內(nèi)裝著n個寫有數(shù)字“
則＝.2分
解得n＝4.4分
∴該箱子內(nèi)裝有4個寫有數(shù)字“08”的球.
(2)當(dāng)游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為1的概率是；6分
當(dāng)游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為2的概率是×＝；8分
當(dāng)游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為3的概率是××＝；10分
∴當(dāng)游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)不多于3的概率是.12分
19.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
而DC⊥平面ABC，∴三角形DCG是等腰直角三角形，
即直線DG與平面ABC所成的角為45°.4分
(2)作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.5分
∵M(jìn)是DG的中點，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.6分
過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.7分
∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.8分
(2)過B作直線BF⊥GC于F， BF⊥平面GMC.9分
∵△CNB是正三角形，故BF＝BCcos 30°＝3，過F作FS⊥MC于S，連BS，三角形DCG是等腰直角三角形.10分
M為GD的中點，∴GD⊥CM，
∴FS∥GD，F(xiàn)S＝FCsin 45°＝.11分
∴tan∠FSB＝＝，
∴二面角B―MC―G的大小是arctan.12分
20.解：(1)由函數(shù)f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以x＝1取得極小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函數(shù)f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分
∵關(guān)于x的方程f(2x)＝m有三個不同的實數(shù)解，令2x＝t(t＞0)，
即關(guān)于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數(shù)解.9分
在t∈(0，＋∞)上y＝f(t)與y＝f(x)圖象一致.11分
又f(0)＝－2，由數(shù)形結(jié)合可知，－＜m＜－.12分
21.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1).1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.4分
通項公式為an＝3n.5分
(2)不妨設(shè)數(shù)列{dn}中的第n項分別是數(shù)列{an}的第p項和數(shù)列{bn}的第q項，即3p＝4q＋3.6分
所以(4－1)p＝4q＋3.7分
∴C4p＋C4p－1(－1)1＋…＋C4?(－1)p－1＋C(－1)p＝4q＋3.8分
4q＝4k＋(－1)p－3，(k∈Z，p，q∈Z*).9分
p為奇數(shù)，當(dāng)p＝1時，q＝0(舍去).10分
∴p＝2n＋1，所以dn＝a2n＋1＝32n＋1.12分
22.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F
故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.5分
∴解得k2＞3.6分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.7分
∵M(jìn)P⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－
∴解得m＝－1.8分
當(dāng)m＝－1時，MP⊥MQ，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結(jié)論也成立.
綜上，當(dāng)m＝－1時，MP⊥MQ.9分
(3)∵a＝1，c＝2，∴x＝是雙曲線的右準(zhǔn)線.10分
由雙曲線定義得：|PA|＝|PF2|＝|PF2|，|QB|＝|QF2|.
(法一)∴λ＝＝
＝＝＝11分
∵k2＞3，∴0＜＜ ，故＜λ＜.12分
注意到直線的斜率不存在時，|PQ|＝|AB|，此時，λ＝.13分
綜上，λ∈[，).14分
(法二)設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點，
∴＜θ＜，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則∠PQC＝|－θ|，
∴λ＝＝＝＝.12分
由＜θ＜得，＜sin θ≤1，故λ∈[，].14分
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