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　　（Ⅰ）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,S_n）也在y=f′(x)的圖象上；

　�。á颍┣蠛瘮�(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.

（20）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科

　　　目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證

　　　書(shū).現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為，科目B每次考試

　　　成績(jī)合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響.

　�。á瘢┣笏�不需要補(bǔ)考就可獲得證書(shū)的概率；

　�。á颍┰谶@項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.

（21）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

　�。á颍┰O(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線(xiàn)l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有,求a的取值范圍.

（22）（本小題滿(mǎn)分14分）

　　　已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

　�。á颍┯沠(x)在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為b_x令a_n=ln(1+n)-b_x.

    （Ⅲ）如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（Ⅳ）求證：

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）

數(shù)  學(xué)（理工類(lèi)）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

(1)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

A.1                       B.2                       C.1或2                D.-1

解：由得,且（純虛數(shù)一定要使虛部不為0）

(2)設(shè)集合,,那么“mA”是“mB”的

A.充分而不必要條件                       B.必要而不充分條件

C.充要條件                                     D.既不充分也不必要條件

解：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件

(3)設(shè)｛a_n｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若,則數(shù)列前7項(xiàng)的和為

A.63                     B.64                     C.127                    D.128

     解：由及｛a_n｝是公比為正數(shù)得公比，所以

(4)函數(shù),若，則的值為

A.3              B.0              C.-1                      D.-2

解：為奇函數(shù)，又

故即.

(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是

A.                 B.        C.                D.

    解：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，

(6)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=1,則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為  A.                                B.              

         C.                              D.

解：連與交與O點(diǎn),再連BO,則為BC₁與平面BB₁D₁D所成角.

    ，，

(7)某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為

A.14                   B.24                        C.28              D.48

    解：6人中選4人的方案種，沒(méi)有女生的方案只有一種，

所以滿(mǎn)足要求的方案總數(shù)有14種

(8)若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足   則的取值范圍是

A.(0,1)                  B.                C.(1,+)              D.

解：由已知，，又，故的取值范圍是

      (9)函數(shù)的圖象按向量 平移后，得到函數(shù)的圖象，

則m的值可以為

A.                    B.                            C.－           D.－        

解：,而的圖象按向量 平移后

得到,所以，故可以為.

(10)在△ABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a、b、c,若,則角B的值為

A.                    B.             C.或           D. 或

解：  由得即

,又在△中所以B為或

(11)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂,若P為其上一點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為A.(1,3)           B.          C.(3,+)       D.

解：如圖，設(shè)，，當(dāng)P在右頂點(diǎn)處，

∵，∴

另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號(hào)成立,因?yàn)榭梢匀�點(diǎn)一線(xiàn). 也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。

    (12) 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么圖象可能是

    解：從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢,可明顯看出的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來(lái)越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以驗(yàn)證y=g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來(lái)越快.

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

（13）若,則 (用數(shù)字作答)

解：令，令得

    所以

(14) 若直線(xiàn)與圓 （為參數(shù)）沒(méi)有公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是         

解：圓心為，要沒(méi)有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑可得

，即，

（15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)圓兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是　　　　

解：依題可以構(gòu)造一個(gè)正方體,其體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑.

 ,

（16）設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除數(shù)b≠0），則稱(chēng)P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：

　　�、僬麛�(shù)集是數(shù)域；                         ②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；

③數(shù)域必為無(wú)限集；                  ④存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域.

其中正確的命題的序號(hào)是　　　　.（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填填上）

 解：①對(duì)除法如不滿(mǎn)足，所以排除，

②取,對(duì)乘法, ③④的正確性容易推得。

（17）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n＝1，且A為銳角.

（Ⅰ）求角A的大�。�

（Ⅱ）求函數(shù)的值域.

解：（Ⅰ） 由題意得 

　　　　　由A為銳角得

　　 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知

　　　　　所以

　　　　　因?yàn)閤∈R，所以，因此，當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值.

　　　　　當(dāng)時(shí)，有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是

（18）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線(xiàn)PD與CD所成角的大��；

（Ⅲ）線(xiàn)段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　解法一：

　�。á瘢┳C明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線(xiàn)PB與CD所成的角.

因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以O(shè)B＝，

在Rt△POA中，因?yàn)锳P＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線(xiàn)PB與CD所成的角是.

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.

　　　設(shè)QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意，此時(shí).

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

    所以

所以異面直線(xiàn)PB與CD所成的角是arccos，

 (Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).

則所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).

設(shè)由，得

解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，

所以存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意，此時(shí).

（19）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　已知函數(shù).

　�。á瘢┰O(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為，其中.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)的圖象上，求證：點(diǎn)也在的圖象上；

　�。á颍┣蠛瘮�(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.

解：(Ⅰ)證明：  因?yàn)樗�以�?/p>

由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,

，  又

           所以，是的等差數(shù)列

          所以,又因?yàn)?所以,

          故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.

 (Ⅱ)解:,令得.

當(dāng)x變化時(shí),?的變化情況如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

注意到,從而

①當(dāng),此時(shí)無(wú)極小值；

②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無(wú)極大值；

③當(dāng)既無(wú)極大值又無(wú)極小值.

（20）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科

　　　目B的考試。已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證

　　　書(shū)。現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為，科目B每次考試

　　　成績(jī)合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響.

　�。á瘢┣笏�不需要補(bǔ)考就可獲得證書(shū)的概率；

　�。á颍┰谶@項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.

    解：設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件，“科目A補(bǔ)考合格”為事件；“科目B第一次考試合格”為事件，“科目B補(bǔ)考合格”為事件

    (Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書(shū)的事件為,注意到與相互獨(dú)立，

則.

答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書(shū)的概率為.

(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得

故

答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

（21）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).

　　�。á瘢┮阎獧E圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

　   （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線(xiàn)l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有,求a的取值范圍.

      解：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

因?yàn)椤鱉NF為正三角形，

              所以,

              因此，橢圓方程為

(Ⅱ) 設(shè)

           (?)當(dāng)直線(xiàn) AB與x軸重合時(shí)，

           (?)當(dāng)直線(xiàn)AB不與x軸重合時(shí)，

              設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：

               整理得

               所以

               因?yàn)楹阌�，所以AOB恒為鈍角.

               即恒成立.

              又，所以對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立,當(dāng)時(shí)，最小值為0，

所以， ,

因?yàn)椋��?

解得或(舍去)，即,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.

（22）（本小題滿(mǎn)分14分）

　　　已知函數(shù)

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

　�。á颍┯浽趨^(qū)間（n∈N*）上的最小值為令

        ①如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

②求證：

  解：

（I）因?yàn)�，所以函�?shù)定義域?yàn)椋�且�?/p>

由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

由<0得，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.

(II) 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以

則.

①

>

又lim,

因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

② 由① 知

因?yàn)閇]²

所以＜(nN^*),

則＜