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          2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）
          數(shù)學(xué)（理科）
           
          本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
          注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
          2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
          3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
          4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
          5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
           
          參考公式：如果事件互斥，那么．
          已知是正整數(shù)，則 ．
           
          一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
          1．已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（    ）
          

          試題詳情
          

          A．             B．             C．              D．
           
           
          

          試題詳情
          

          2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（    ）
          A．16              B．24                C．36                   D．48
           
           
           
          一年級
          二年級
          三年級
          女生
          373
          

          試題詳情
          

          

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          男生
          377
          370
          

          試題詳情
          

          

          試題詳情
          

          3．某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（    ）
          A．24           B．18              
C．16              D．12                           表1        
           
           
          

          試題詳情
          

          4．若變量滿足則的最大值是（   ）
          A．90            B．80                C．70              D．40
          

          試題詳情
          

          5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（    ）
          

          試題詳情
          

           
          

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          6．已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（
  ）
          

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          A．          B．             C．        D．
           
           
          

          試題詳情
          

          7．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（    ）
          

          試題詳情
          

          A．                 B．             C．                D．
           
           
          

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          8．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（    ）
          

          試題詳情
          

          A．      B．         C．              D．
           
           
          （一）必做題（9~12題）
          

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          二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
          


          
 
          
  
 
          
 
          
  
  
 
          

          

 
          

          試題詳情
          

                   
，         
．
          

          試題詳情
          

          （注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）
           
           
           
          

          試題詳情
          

          10．已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于
          

          試題詳情
          

          120，則        
．
           
           
          

          試題詳情
          

          11．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直
          的直線方程是           ．
           
           
          

          試題詳情
          

          12．已知函數(shù)，，則的
          最小正周期是         
．
           
           
           
          

          試題詳情
          

          二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
          13．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為         
．
           
           
          

          試題詳情
          

          14．（不等式選講選做題）已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是             ．
           
           
          

          試題詳情
          

          15．（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑          
．
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
          16．（本小題滿分13分）
          

          試題詳情
          

          已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點．
          

          試題詳情
          

          （1）求的解析式；
          

          試題詳情
          

          （2）已知，且，，求的值．
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          17．（本小題滿分13分）
          

          試題詳情
          

          隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．
          （1）求的分布列；
          

          試題詳情
          

          （2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；
          

          試題詳情
          

          （3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          18．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．
          （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
          

          試題詳情
          

          （2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)，函數(shù)，，，試討論函數(shù)的單調(diào)性．
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點作的平行線交于．
          

          試題詳情
          

          （1）求與平面所成角的正弦值；
          

          試題詳情
          

          （2）證明：是直角三角形；
          

          試題詳情
          

          （3）當時，求的面積．
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21．（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）．
          

          試題詳情
          

          （1）證明：，；
          

          試題詳情
          

          （2）求數(shù)列的通項公式；
          

          試題詳情
          

          （3）若，，求的前項和．
           
           
          絕密★啟用前                    
              試卷類型B
          2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)
          

          試題詳情
          

           
          一、選擇題：C D C C     A D B B
          1．C【解析】，而，即， 
          2．D【解析】，，故
          3．C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為
          4．C  5．A
          6．D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題
          7．B【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時，顯然有，此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為。
          8．B       
           
          二、填空題： 
          9．【解析】要結(jié)束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍數(shù)12，即此時有。
          10．【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。
          11．【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。
          12．【解析】，故函數(shù)的最小正周期。
           
          二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
          13．【解析】由解得，即兩曲線的交點為。
          14．
          15．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。
           
          三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
          16．解：（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故；
          （2）依題意有，而，
          ，
          。
           
          17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
          ，
          故的分布列為：
          6
          2
          1
          -2
          0.63
          0.25
          0.1
          0.02
          （2）
          （3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為
          依題意，，即，解得
          所以三等品率最多為
           
          18．解：（1）由得，
          當得，G點的坐標為，
          ， ，
          過點G的切線方程為即，
          令得，點的坐標為，
          由橢圓方程得點的坐標為，即，
          即橢圓和拋物線的方程分別為和；
          （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,
          以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。
          若以為直角，設(shè)點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 
          。
          關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，
          因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
           
          19．解： ，
          對于，
          當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；
          當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
          對于，
          當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；
          當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。
           
          20．解：（1）在中，
          ，
          而PD垂直底面ABCD，
          ,
          在中，,即為以為直角的直角三角形。
          設(shè)點到面的距離為,
          由有,
          即 ，
          ;
          (2),而,
          即,，,是直角三角形；
          （3）時,,
          即,
          的面積
          21．解：（1）由求根公式，不妨設(shè)，得
          ，
          （2）設(shè)，則，由
          得，，消去，得，是方程的根，
          由題意可知，
          ①當時，此時方程組的解記為
          即、分別是公比為、的等比數(shù)列，
          由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,
          兩式相減，得
          ，，
          ，
          ，即，
          ②當時，即方程有重根，，
          即，得，不妨設(shè)，由①可知
          ，，
          即，等式兩邊同時除以，得，即
          數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
          綜上所述，
          （3）把，代入，得，解得
          
				
          
	
          
		
          


          同步練習(xí)冊答案