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          廣東省華南師大附中2007―2008學(xué)年度高三綜合測(cè)試（三）數(shù)學(xué)試題（理科）
          1．已知命題p：，則                                                                   （C  ）
                 A．                       B． 
                 C．                      D．
          2．已知函數(shù)，則a的所有可能值組成的集合為B
                 A．{1}                    B．           C．{－}            D．{1，}
          3．命題p：若的充分不必要條件；
             命題q：函數(shù)，則                         （  A ）
                 A．“p\/q”為假        B．“”為真     C．p真q假             D．p假q真
          4．不等式的解集是                                                                       （  A ）
          A．B．C．D．
          5．在等比數(shù)列{an}中，（ C  ）
                 A．27                      B．－27                   C．             D．
          6．給出下面類(lèi)比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：
             ①“若”類(lèi)比推出“”
           ②“若”類(lèi)比推出
          “
”
           ③“若”類(lèi)比推出“若”
           ④“若”類(lèi)比推出“若”
           其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有A．1              B．2              C．3  D．4  （ B  ）
          7．在R上定義運(yùn)算：.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則                         （  C ）
                 A．        B．0<a<2                 C．      D．
           
          8．設(shè)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是                                                     （  D ）
                 A．              B．（0，1）              C．               D．
           
          9．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則z=1－i
           
          


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          1,3,5
           
          11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
           
          12．若從集合P到集合Q={a，b，c}所有的不同映射共有81個(gè)，則從集合Q到集合P可作的不同映射共有64個(gè).
           
          13．已知的最小值為9
          ∵當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)
          14．將正整數(shù)排成下表：
              1
              2    3    4
              5    6    7    8    9
              10   11   12   13   14   15   16
              ……
          則數(shù)表中的300應(yīng)出現(xiàn)在第18行.
          （由已知可知所有的數(shù)字為公差為1的等差數(shù)列，每行的數(shù)字個(gè)數(shù)為以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，前n行數(shù)字個(gè)數(shù)為n2.）
          15．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c=，且
          （1）求角C的大�。�
          解：∵A+B+C=180°
              由  …………1分
              ∴   ………………3分
              整理，得   …………4分 解得：   ……5分
              ∵  ∴C=60°   ………………6分
          （2）求△ABC的面積.
          由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab  …………7分
          ∴   …………8分  =25－3ab    9分   10分
          ∴   …………12分
          17．（本小題滿分14分）
          在公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.
             （1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
          解：（1）由條件得：  …………6分
          （2）
            ①
            ②
          ①－②：
          即  
          ∴   …………14分
          16．（本小題滿分12分）
          某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動(dòng)力、獲得利潤(rùn)及每天資源限額（量大供應(yīng)量）如下表所示：
          產(chǎn)品
          消耗量
          資源
          甲產(chǎn)品（每噸）
          乙產(chǎn)品（每噸）
          資源限額（每天）
          煤（t）
          9
          4
          360
          電力（kw?h）
          4
          5
          200
          勞動(dòng)力（個(gè)）
          3
          10
          300
          利潤(rùn)（萬(wàn)元）
          6
          12
           
          問(wèn)：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少?lài)�，獲得利潤(rùn)總額最大？
          解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸、y噸.獲得利潤(rùn)z萬(wàn)元 ……1分
          依題意可得約束條件：   …………4分
          利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)z=6x+12y  …………8分
          如圖，作出可行域，作直線l：z=6x+12y，把直線l向右上方平移至l1位置，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=6x+12y取最大值.
          解方程組 ，得M（20，24）  …………11分
          所以生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20t，乙種產(chǎn)品24t，才能使此工廠獲得最大利潤(rùn)  …………12分
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          18．（本小題滿分14分）
          如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，|AB|=3米，|AD|=2米.
             （Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
          


            1. 
 
              
  
  
              
   
              
    
    
              
    
              解：設(shè)AN的長(zhǎng)為x米(x>2)
              ∵   ∴
              ∴  …………3分
              （Ⅰ）由SAMPN>32得，
              ∵
              ∴，即AN長(zhǎng)的取值范圍是  …………6分
              （Ⅱ）令 …………9分
              ∴當(dāng)上單調(diào)遞增，
              ∴函數(shù)上也單調(diào)遞增  
…………11分
              ∴當(dāng)x=6時(shí)，取得最小值即SAMPN取得最小值27（平方米）
              此時(shí)|AN|=6米，|AM|=4.5米  …………13分
                  答：當(dāng)AM、AN的長(zhǎng)度分別是4.5米，6米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小面積是27平方米.  
………………14分
               
               
               
               
               
              19．（本小題滿分14分）已知函數(shù)
              （Ⅰ）若上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
              解：（Ⅰ）由  …………2分
              欲使函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則上恒成立，
              即不等式上恒成立，也即  上恒成立  4分
              令，上述問(wèn)題等價(jià)于，
              而上的減函數(shù)，則為所求.6分
              （Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試判斷當(dāng)是否為“凹函數(shù)”，并對(duì)你的判斷加以證明
              證明：由  得
                …7分   …8分
              而  ①  …………10分
              又  ② …………1分
              ∵∵   ③  …13分
              由①、②、③得   
              即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù) …………14分
              20．（本小題滿分14分）
                  已知數(shù)列
                 （1）計(jì)算x2，x3，x4的值；
                 （2）試比較xn與2的大小關(guān)系；
                 （3）設(shè)，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng).
              解：（1）  …………3分
                
（2）∵當(dāng)
                  又
              ∴
              以此類(lèi)推有：  ………………8分
              （3）∵當(dāng)時(shí)，
              ∴
              ∴
              ∴   …………14分
               
              
				
	



              
	



              

                

                  

                  

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