武漢市2009屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試
理科數(shù)學試卷
武漢市教育科學研究院命制 2009.4.16
本試卷共150分�？荚囉脮r150分鐘。
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷的答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.非選擇題用黑色墨水的簽字筆或鋼筆直接答在答題卡上.答在試題卷上無效.
3.考試結(jié)束，監(jiān)考人員將本試題和答題卡一并收回.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率
球的表面積公式
其中R表示球的半徑
球的體積公式
其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知復數(shù)z滿足，則z =（ ）
A． B． C． D．
2．已知點到直線的距離相等，則實數(shù)的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．輪船A和輪船B在中午12時離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120，輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是（ ）
A．35海里 B．海里 C．海里 D．70海里
4．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小的1份為（ ）
A． B． C． D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
C．事件A、B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大
D．事件A、B同時發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率小
6．已知為三條不同的直線，且平面M，平面N，
（1）若a與b是平行兩直線，則c至少與a,b中的一條相交；
（2）若；
（3）若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；
（4）若,則必有.
其中正確的命題個數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．在實數(shù)范圍內(nèi)，條件且是條件成立的（ ）
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不是充分又不是必要條件
8．從星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案種數(shù)為（ ）
A．42 B．30 C．72 D．60
9．若函數(shù)，則當之間大小關系為（ ）
A． B．
C． D．與或a有關，不能確定
10．已知圓：，過圓內(nèi)定點P（2，1）作兩條相互垂直的弦AC和BD，那么四邊形ABCD面積最大值為（ ）
A．21 B． C． D．42
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.
11．在的展開式中，常數(shù)項為 .
12．已知區(qū)域D滿足，那么區(qū)域D內(nèi)離坐標原點O距離最遠的點P的坐標為 .
13．在中，，O為的內(nèi)心，且則 = .
14．已知內(nèi)接于橢圓，且的重心G落在坐標原點O，則的面積等于 .
15．函數(shù)的值域為 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，其定義域為，最大值為6.
（1）求常數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
17．（本小題滿分12分）
袋中裝有若干個質(zhì)地均勻大小一致的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍.每次從袋中摸出一個球然后放回，若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直至第5次摸球后結(jié)束.
（1）求摸球3次就停止的事件發(fā)生的概率；
（2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及其期望.
18．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA底面ABCD，ABAC，AB=1，BC=2，PA=，E為邊BC上異于B、C的點，且PEED.
（1）求EC的長；
（2）求二面角E-PD-A的大小.
19．（本小題滿分13分）
已知橢圓C的兩個焦點分別為，且點在橢圓C上，又.
（1）求焦點F2的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，求實數(shù)b的取值范圍.
20．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
（1）若方程內(nèi)有兩個不等的實根，求實數(shù)m的取值范圍；（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點、且.求證：（其中正常數(shù)）.
21．（本小題滿分13分）
已知數(shù)列滿足：其中，數(shù)列滿足：
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.
武漢市2009屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試
武漢市教育科學研究院命制 2009.4.16
一、選擇題
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空題
11．7 12．（2，3） 13． 14． 15．
三、解答題
16．解：（1）由
由知：，于是可知
得.………………………………………………………（6分）
（2）由及
而在上單調(diào)遞增
可知滿足：時單調(diào)遞增
于是在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………（12分）
17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，
則……………………………………………………………（5分）
（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.
則，
，
.
隨機變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數(shù)學期望為：
.………………………（12分）
18．解：（1）在四棱錐中，底面，則
若，則和面內(nèi)相交的兩直線均垂直
面，故.
在底面的平行四邊形中，令
在中，.
于是
在中，由可知：
求得或
依題意，于是有.……………………………………………（6分）
（2）過點作，連結(jié)
.
又，面
面
由三垂線定理知：為所求二面角的平面角
過點
易知
又
在中
故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）
19．解：（1）
故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.
設其方程為：
.
故軌跡方程為.…………………………………………（6分）
（2）由
方程有兩個正根.
設，由條件知.
而
即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.
.
故的取值范圍為……………………（13分）
20．解：（1）由，
求導數(shù)得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是
，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數(shù)，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………
……………………………………………………………（13分）
21．解：（1）經(jīng)過計算可知：
.
求得.…………………………………………（4分）
（2）由條件可知：.…………①
類似地有：.…………②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故
所以：.…………………………………………（8分）
（3）假設存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).
則由（2）可知：…………③
由，及可知.
當時，為整數(shù)，利用，結(jié)合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數(shù).
當時，③變?yōu)椤?/p>
我們用數(shù)學歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)
時，結(jié)論顯然成立，假設時結(jié)論成立，這時為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時，命題成立.
故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）
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