北京先知文化中心2009屆高三模擬測(cè)試（二）
數(shù)學(xué)理科試題
（試卷總分150分 考試時(shí)間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，則與共線(xiàn)是與共線(xiàn)的（ ）
A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件D． 既不充分也不必要條件
5．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為9，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差為（ ）
A． B． C．或 D． 或
6．若雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的，則此雙曲線(xiàn)的離心率是( )
A. B. C. D.
7.設(shè)、為正實(shí)數(shù)，則下列不等式恒成立的是( )
①；②；③；④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設(shè)是展開(kāi)式的中間項(xiàng)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．函數(shù)的最小值是( )
A. B. C. D.
10．用平面截半徑為的球，若截面圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)亦為，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B.
C． D
12．直線(xiàn)，將圓面分成若干塊，現(xiàn)用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為 。
14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和比集合的子集個(gè)數(shù)少１，則 。
15.如圖，正四面體中，是底面上的高，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為 。
16,已知點(diǎn)為的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn),點(diǎn)為焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)，若，則向量與的夾角為 。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）．
17.(本小題滿(mǎn)分10分)
已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中，，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面積。
18. (本小題滿(mǎn)分12分)
高中會(huì)考成績(jī)分A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，其中等級(jí)D為會(huì)考不合格，某學(xué)校高三學(xué)生甲參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科會(huì)考，三科會(huì)考合格的概率均為，每科得A，B，C，D 四個(gè)等級(jí)的概率分別為，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業(yè)證，求學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評(píng)為三好學(xué)生，則學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率；
（Ⅳ）設(shè)為學(xué)生甲會(huì)考不合格科目數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望。
19．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)（為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（Ⅱ）若在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20．(本小題滿(mǎn)分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，∥，，，點(diǎn)、分別在棱、上，且平面，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大��；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿(mǎn)分12分)
已知雙曲線(xiàn)：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)做漸近線(xiàn)：的平行線(xiàn)
交雙曲線(xiàn)與點(diǎn)，若，
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且
其中為原點(diǎn)，求的范圍。
22．(本小題滿(mǎn)分12分)
為數(shù)列的前項(xiàng)和且滿(mǎn)足，若，則
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）設(shè)，求證：。
1．解析：，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由，得，此時(shí)，所以，，故選C。
4．解析：顯然，若與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)；若與共線(xiàn)，則，即，得，∴與共線(xiàn)，∴與共線(xiàn)是與共線(xiàn)的充要條件，故選C。
5．解析：設(shè)公差為，由題意得，；，解得或，故選C。
6．解析：∵雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴雙曲線(xiàn)的離心率是。故選B.
7.解析：∵、為正實(shí)數(shù)，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，故選D。
9．解析：∵
，此函數(shù)的最小值為，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，又∵，∴，故選D。
11．解析：∵在區(qū)間上是增函數(shù)且，∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，故選A
12．解析：如圖，①當(dāng)或時(shí)，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)或時(shí)，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當(dāng)時(shí)，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。
13．解析：做出表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值5。
14.解析：∵，∴時(shí)，，又時(shí)，滿(mǎn)足上式，因此，，
∴。
15．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，連，取的中點(diǎn)，連，∵為的中點(diǎn)，∴∥，∴或其補(bǔ)角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。
16．解析：∵，∴，∵點(diǎn)為的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，由向量的加法法則及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)且做出圖形如右圖，其中為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴�！�10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會(huì)考不合格的概率均為，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率為�！�12分
∵，，，�！�9分
∴的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數(shù)學(xué)期望�！�12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）時(shí)，
，，
由得， 或 ………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
， ………………………6分
（Ⅱ）在定義域上是增函數(shù)，
對(duì)恒成立，即
………………………9分
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴�！�4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)做∥，交于點(diǎn)，∵平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，∴，，設(shè)，∵平面，∴，∴，取，∴，∴�！�4分
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�8分
（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為�！�12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別向軸及右準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分
∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴雙曲線(xiàn)的方程為�！�4分
（Ⅱ）聯(lián)立方程組 消得：
由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)得：
即 于是 ，且 ………………①………………………6分
設(shè)、，則
……………………9分
又，所以，解得 ……………②
由①和②得 即 或
故的取值范圍為。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，………………………2分
又∵，，∴公差為2，
∴，………………………4分
（Ⅱ）∵，∴，
∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
∵，∴，………………………6分
（Ⅲ）∵，
∴………………………8分
∴………………………10分
∵，∴，又∵，∴………………………12分
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