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2009屆高三數(shù)學(xué)圓錐曲線大題訓(xùn)練

1、設(shè)雙曲線：的焦點(diǎn)為,.離心率為.

（1）求此雙曲線漸近線,的方程；

（2）若,分別為,上的動(dòng)點(diǎn)，且2,求線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

2、拋物線上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱軸的上下兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，并且|FA|=2，|FB|=5，在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求這個(gè)最大面積.

3、如圖：直線L：與橢圓C：交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。

（1）       求證：橢圓C：與直線L：總有兩個(gè)交點(diǎn)。

（2）       當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。

（3）是否存在直線L，使OAPB為矩形？若存在，求出此時(shí)直線L的方程；若不存在，說明理由。

4、已知圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），對(duì)應(yīng)這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，又曲線過，AB是過F的此圓錐曲線的弦；圓錐曲線中心在原點(diǎn)，其離心率，一條準(zhǔn)線的方程是。（1）求圓錐曲線和的方程。（2）當(dāng)不超過8，且此弦所在的直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)時(shí)，求直線AB的傾斜角的取值范圍。

5、正方形的一條邊AB在直線y=x+4上，頂點(diǎn)C、D在拋物線y²=x上，求正方形的邊長.

6、如圖，已知點(diǎn)，

直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線

的垂線，垂足為點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，，求的值；

1、解：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a²=1,所以雙曲線的方程為

，所以漸近線L₁,L₂的方程為和＝0

（2）c²＝a²＋b²＝4，得c＝2 ，所以，又2所以=10

設(shè)A在L₁上，B在L₂上，設(shè)A（x₁ ，，B(x₂，－

所以即

設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則x＝，y＝

所以x₁＋x₂＝2x ， x₁－x₂＝2y

所以整理得：

所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。

2、解：由已知得，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方且坐標(biāo)為，

由得

          所以A(1，2)，同理B(4,-4),  所以直線AB的方程為.

設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)，且.

   則點(diǎn)P到直線AB的距離d=

所以當(dāng)時(shí)，d取最大值，又

所以△PAB的面積最大值為  此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為.

3．解：(1)由得

橢圓C：與直線L：總有兩個(gè)交點(diǎn)。

(2)設(shè),,,與交于點(diǎn)，則有

即，又由（1）得，

得 （3）

將（3）代入（2）得

點(diǎn)P的軌跡方程為

（3）       由

當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在；當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，此時(shí)直線為

4、解：⑴過P作直線x=-1的垂線段PN.曲線是以為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,且.曲線；

依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點(diǎn)在y軸上，圓錐曲線：

   （2）設(shè)直線AB：,.由拋物線定義得：，

又由得，其時(shí)，。

依題意有即，則

直線AB的傾斜角。

5、解：設(shè)CD的方程為y=x+b,由消去x得y²-y+b=0，設(shè)C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),則y₁+y₂=1,y₁y₂=b,∴｜CD｜ ==，又AB與CD的距離d=,由ABCD為正方形有= ,解得b=-2或b=-6.∴正方形的邊長為3或5.

6、解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：

，化簡得．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：

．

設(shè)，，又，

聯(lián)立方程組，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：（Ⅰ）由得：，

，

，

．

所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．

（Ⅱ）由已知，，得．

則：．…………①

過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，

則有：．…………②

由①②得：，即．