安徽省安慶一中2009屆高三第二學(xué)期模擬試卷
數(shù)學(xué)（七）
（考試時間:120分鐘 滿分：150分 ）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個選項中，只有一個答案是正確的）
( )1、設(shè)，集合，則
A．1 B． C．2 D．
( )2、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A. B.
C. D.
( )3、設(shè)，，則
A． B． C． D．
( )4、若等差數(shù)列的前5項和，且，則
A．12 B．13 C．14 D．15
( )5、已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題，其中真命題是：
①若則；
②若則；
③若則；
④若m、n是異面直線，則
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
A．96 B．84 C．60 D．48
( )7、函數(shù)的零點的個數(shù)是
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
( )8、一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是
A、 B、 C、 D、
二、填空題（共7小題，計30分。其中第9、10、11、12小題必做；第13、14、15題選做兩題，若3題全做，按前兩題得分計算。）
9、已知向量，，且，則 ．
10、的二項展開式中，的系數(shù)是________（用數(shù)字作答）．
11、已知數(shù)列滿足：，，則通項公式＿＿＿。
12、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝f (x)的圖象關(guān)于直線對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+…+ f (2009)＝_____________
13、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點，則 ＝ ；
14、(不等式選講選做題) 設(shè)，則的最小值為____．
15、(幾何證明選講選做題) 如圖，⊙O的直徑=6cm，是延長線上的一點，過點作⊙O的切線，切點為，連接， 若30°，PB = 。
三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
16、（本小題滿分12分）
已知向量，，
（1）若，求向量、的夾角；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值。
17、（本小題滿分12分）
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位
至少有一名志愿者．
⑴求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率；
⑵求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；
⑶設(shè)隨機變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18、（本小題滿分14分）
某城市2008年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，根據(jù)城市規(guī)劃，汽車保有量不能超過60萬輛。
（1）如果每年新增汽車數(shù)量控制在3萬輛，汽車保有量能否達到要求？（需要說明理由）
（2）在保證汽車保有量不超過60萬輛的前提下，每年新增汽車數(shù)量最多為多少萬輛？
19、（本小題滿分14分）
已知
（1）若的圖象有與軸平行的切線，求的取值范圍；
（2）若在時取得極值，且，恒成立，求的取值范圍．
20、（本小題滿分14分）
如圖1，矩形CDEF中DF＝2CD＝2，將平面ABCD沿著中線AB折成一個直二面角（如圖2），點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a（0＜a＜）。
（1）求MN的長；
（2）當(dāng)a為何值時，MN的長最��；
（3）當(dāng)MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的鈍二面角α的余弦值。
21、（本小題滿分14分）
設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)的定義域為，且對任意的正實數(shù)x、y有：且．
（1）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前n項和,求數(shù)列的通項公式；
（2）在(1)的條件下，是否存在正數(shù)M，使下列不等式：
對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項
C
A
C
B
D
B
B
A
二、填空題（共7小題，計30分。其中第9、10、11、12小題必做；第13、14、15題選做兩題，若3題全做，按前兩題得分計算。）
9、 4 10、__10__（用數(shù)字作答）．11、__＿＿。12、___0___。
13、 ；14、___8_____．15、 3 。
三、解答題（考生若有不同解法，請酌情給分�。�
16.解：（1）…………2分
……………………………………3分
………………………………………………5分
（2）…………………………7分
…………………………………9分
………………………………………10分
故
∴當(dāng)………………………………12分
17．解：⑴、記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是．……………………4分
⑵、記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件，
那么，…………………………………………………………6分
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是．………8分
⑶、隨機變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時參加崗位服務(wù)，則
．所以，
的分布列是：…………………………………………………………………… 10分
1
2
∴…………………………………………………………12分
18．
解：設(shè)2008年末汽車保有量為a1萬輛，以后各年末汽車保有量依次為a2萬輛，a3萬輛，…，每年新增汽車x萬輛。………………………………………………………………1分
a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…
故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）
．………………………………………………6分
(1):當(dāng)x=3萬輛時，an≤30
則每年新增汽車數(shù)量控制在3萬輛時，汽車保有量能達到要求�！�9分
(2):如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即an≤60（n＝1，2，3，…）
則，
即．
對于任意正整數(shù)n，
因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，x≤3．6（萬輛）．………………13分
答：若每年新增汽車數(shù)量控制在3萬輛時，汽車保有量能達到要求；每年新增汽車不應(yīng)超過3．6萬輛，則汽車保有量定能達到要求�！�14分
19．解：（1）…………………………………………………………2分
由己知有實數(shù)解，∴，故…………………5分
（2）由題意是方程的一個根，設(shè)另一根為
則，∴……………………………………………………7分
∴，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，
∴當(dāng)時，有極大值，又，，
即當(dāng)時，的量大值為 ………………………10分
∵對時，恒成立，∴，
∴或………………………………………………………………13分
故的取值范圍是 ………………………………………14分
20．解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，
∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=， .
即CP=BQ=.
∴MN=PQ=
（0＜a＜）.…………………………………5分
（2）由（Ⅰ），MN=，所以，當(dāng)a=時，MN=.
即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為.………8分
（3）取MN的中點G，連結(jié)AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，………………………11分
又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.
故所求二面角的余弦值為－.………………………………………………………14分
（注：本題也可用空間向量，解答過程略）
21．解：⑴、對任意的正數(shù)均有且．
又
，…………………………………………………4分
又是定義在上的單增函數(shù)，．
當(dāng)時，，．，．
當(dāng)時，，
．，
為等差數(shù)列，，． ……………………………6分
⑵、假設(shè)存在滿足條件，即
對一切恒成立．
令，
，………………………10分
故，………………………12分
，單調(diào)遞增，，．
．……………………………………………………………14分
（考生若有不同解法，請酌情給分�。�
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