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        1. 第二章  函數(shù)

          一、映射與函數(shù)

          1.         映射:設(shè)A、B是兩個(gè)集合,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合        元素,在集合中都有        元素與它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做                映射,記作:         

          2.         一一映射:   如果映射滿足:⑴對(duì)于中的不同元素,在集合中有      的象;⑵中的         都有原象,那么叫做的一一映射.

          3.       函數(shù):設(shè)A、B是           ,如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)于集合

                  數(shù),在集合中都有        數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么就稱為集合到集合一個(gè)的函數(shù),記作,.其中叫做      ,的取值范圍叫做函數(shù)的        ;與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做       ,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的         。

          4.         區(qū)間:設(shè),且,則區(qū)間={                     },    

          5.         函數(shù)三要素:⑴                         ;⑵                     ;⑶                           

          6.         函數(shù)的表示法:⑴                     ;⑵                     ;⑶                           

          7.         分段函數(shù):若函數(shù)在定義域的不同子集上有不同的對(duì)應(yīng)法則,可用幾個(gè)式子來表示函數(shù),這種函數(shù)叫做分段函數(shù).

          8.         復(fù)合函數(shù):若的函數(shù),又是的函數(shù),即:,,,那么關(guān)于的函數(shù),叫做的復(fù)合函數(shù).

          二、函數(shù)的解析式

          9、如果一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來表示,那么這個(gè)數(shù)學(xué)式子就叫函數(shù)的解析式.求兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是求出函數(shù)的定義域.

          試題詳情

          10、求解析式的常用方法:

          ⑴ 已知解析式的結(jié)構(gòu)時(shí),可用待定系數(shù)法

          試題詳情

          ⑵ 已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí),可用換元法;

          ⑶ 已知抽象函數(shù)表達(dá)式時(shí),可用消元法.

          三、函數(shù)的定義域

          試題詳情

          11、 求定義域時(shí)需要考慮:⑴分式的             ;⑵偶次根式的           ;⑶對(duì)數(shù)式的          ;⑷指數(shù)、對(duì)數(shù)式的                   ;⑸由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算得到解析式使解析式有意義.

          試題詳情

          12、 已知的定義域?yàn)?sub>,則的定義域由                  解出;已知的定義域?yàn)?sub>,則的定義域?yàn)?u>                 .

          試題詳情

          四、函數(shù)的值域和最值

          13、函數(shù)的值域取決于函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域.

          試題詳情

          14、求函數(shù)值域的常用方法:(寫出四種)

          1)____________    2)______________   3)____________   4)_______________

          試題詳情

          15.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且只有一個(gè)點(diǎn)使得,若函數(shù)在這點(diǎn)處有極大(。┲,則該值是_________________

          試題詳情

          16.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上必有_______________

          五、函數(shù)的單調(diào)性:

          試題詳情

          17、定義:

          試題詳情

          ⑴對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù),如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí)都有                          ,那么就說是這個(gè)區(qū)間上的增函數(shù);

          試題詳情

          ⑵對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù),如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí)都有                          ,那么就說是這個(gè)區(qū)間上的減函數(shù).

          試題詳情

          ⑶如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有     _____________,這個(gè)區(qū)間叫做函數(shù)                         

          試題詳情

          18、判定:

          ⑴ 用定義:取值、作差、變形定號(hào)、作出結(jié)論

          ⑵ 利用圖象;

          ⑶ 利用復(fù)合函數(shù):

          試題詳情

          寫出的單調(diào)區(qū)間:

          ____________

           

          ______________________________________________________________

           

          ______________________________________________________________

           

          ____________

           

          ______________________________________________________________

           

          ______________________________________________________________

          試題詳情

          寫出的單調(diào)區(qū)間:

          ____________

           

          ______________________________________________________________

           

          ______________________________________________________________

           

          ____________

           

          ______________________________________________________________

           

          ______________________________________________________________

          試題詳情

          (4)利用導(dǎo)數(shù):函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),若,則在該區(qū)間是_________;

          試題詳情

          ,則在該區(qū)間是_________。

          試題詳情

          19、常見函數(shù)的單調(diào)性:

          試題詳情

            時(shí),在_________上___________

          試題詳情

                            時(shí),在_________上___________

          試題詳情

               

          試題詳情

          時(shí),在___________________________上___________

          試題詳情

          時(shí),在___________________________上___________

          試題詳情

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          試題詳情

          20、

           

           

           

          試題詳情

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          試題詳情

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          六、奇函數(shù),偶函數(shù):

          試題詳情

          21、奇函數(shù):

          (1)       定義:①

           

           

          (2)       圖象性質(zhì):___________________________________

           

          (3)       奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性_______

           

          試題詳情

          (4)       若0在其定義域內(nèi),則______

          試題詳情

          22、偶函數(shù):

          (1)定義:①

           

           

          (2)圖象性質(zhì):___________________________________

           

          (3)偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性_______

          試題詳情

          23、奇奇得偶;偶偶得偶;奇偶得奇。

          七、周期性:

          試題詳情

          24、已知函數(shù)的定義域?yàn)镈,若存在一個(gè)非零常數(shù)T,使時(shí),都有________________

          試題詳情

          則稱為周期函數(shù),_______叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

           

           

          八、反函數(shù):

          試題詳情

          25、反函數(shù)存在的條件:

          ⑴如果一個(gè)函數(shù)是________映射,那么這個(gè)函數(shù)必有反函數(shù).

          ⑵如果一個(gè)函數(shù)具有              那么這個(gè)函數(shù)必有反函數(shù).

          試題詳情

          26、求反函數(shù)的步驟:⑴                         ;⑵                            ;⑶                             

          試題詳情

          27、反函數(shù)的性質(zhì):

          (1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于                      對(duì)稱;

          (2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的                             

          (3)如果一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)且為奇函數(shù),那么它的反函數(shù)也為_________

          九、圖象變換

          試題詳情

          28、對(duì)稱變換:

          y = fx)與___________關(guān)于x軸對(duì)稱

          y =fx)與____________關(guān)于y軸對(duì)稱

          y =fx)與____________關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

          試題詳情

          ④若_____________________,則關(guān)于__________對(duì)稱

          試題詳情

          29、平移變換:()

          試題詳情

          的圖象可由____________________________________得到

          試題詳情

          的圖象可由____________________________________得到

          試題詳情

          的圖象可由____________________________________得到

          試題詳情

          的圖象可由____________________________________得到

          試題詳情

          30、翻折變換:

          試題詳情

          的圖象可由______________________________________得到

          試題詳情

          的圖象可由______________________________________得到

          十、二次函數(shù)

          試題詳情

          31、函數(shù)

          試題詳情

          1)寫出的頂點(diǎn)式(即配方式)_____________________________

          試題詳情

          2)若已知的兩根是、,則_____________________________

          試題詳情

          3)單調(diào)性:若,則(___________________)時(shí),單調(diào)遞減

          試題詳情

                              則(___________________)時(shí),單調(diào)遞增

          試題詳情

                     若,則(___________________)時(shí),單調(diào)遞減

          試題詳情

                              則(___________________)時(shí),單調(diào)遞增

          試題詳情

          4)討論在閉區(qū)間上的最值  (

           

           

           

           

           

           

          試題詳情

          5)討論的根在某區(qū)間上的分布情況   (

          試題詳情

          ①在區(qū)間上有且僅有一根,則_________________________________

           

          試題詳情

          ②在區(qū)間上有兩根,則_____________________________________________________

           

          試題詳情

          ③在區(qū)間、上各有一根,則______________________________

          試題詳情

          十一、指數(shù):

          32、整數(shù)指數(shù)冪概念:

          試題詳情

                       ________

          試題詳情

          33、次方根的概念

          試題詳情

          一般地,如果一個(gè)數(shù)的次方等于,那么這個(gè)數(shù)叫做次方根,

          試題詳情

          即: 若,則叫做次方根,

          試題詳情

          說明: ①若是奇數(shù),則次方根記作; 若,若

          試題詳情

          ②若是偶數(shù),且,則的正次方根記作的負(fù)次方根,記作:;

          試題詳情

                 ③若是偶數(shù),且,則沒意義,即負(fù)數(shù)沒有偶次方根;

          試題詳情

                 ④      ∴;

          試題詳情

          ⑤式子叫根式,叫根指數(shù),叫被開方數(shù)。  ∴

          試題詳情

          34、次方根的性質(zhì)

          試題詳情

          一般地,若是奇數(shù),則    

          試題詳情

                      若是偶數(shù),則________。

          試題詳情

          35、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

          試題詳情

          (1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是   

          試題詳情

          (2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是        

          試題詳情

          36、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也同樣適用

          試題詳情

          即  (1)          (2)      

          試題詳情

          (3)      

          說明:(1)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用;

               (2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義。

          試題詳情

          十二、指數(shù)函數(shù):

          37、指數(shù)函數(shù)定義: 一般地,函數(shù))叫做指數(shù)函數(shù),其中是自變量。

          試題詳情

          38、指數(shù)函數(shù)在底數(shù)這兩種情況下的圖象和性質(zhì):

           

           

           

          試題詳情

          試題詳情

          圖象

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          性質(zhì)

          (1)定義域:

          (2)值域:

          (3)過點(diǎn)(  , ) ,

          試題詳情

          當(dāng)時(shí),_____;

          試題詳情

          當(dāng)時(shí),_____;

          試題詳情

          越___,圖象越靠近_________

          (3)過點(diǎn)(  , ) ,

          試題詳情

          當(dāng)時(shí),_____;

          試題詳情

          當(dāng)時(shí),_____;

          試題詳情

          越___,圖象越靠近_________

          (4)單調(diào)性:在    上是  函數(shù)

          (4)單調(diào)性:在   上是  函數(shù)

           

          十三、對(duì)數(shù)

          試題詳情

          39、對(duì)數(shù)定義:一般地,如果)的次冪等于N, 就是,那么數(shù) b叫做a為底 N的對(duì)數(shù),記作 ,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。

          試題詳情

                       。

          試題詳情

          說明:1.在指數(shù)式中冪N > 0,∴在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)N > 0.(負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)

          試題詳情

          2.對(duì)任意 ,  都有    ______________.

          試題詳情

          3.如果把中的寫成, 則有 __________(對(duì)數(shù)恒等式).

          試題詳情

          4.兩種特殊的對(duì)數(shù): ①常用對(duì)數(shù):以10作底    寫成 

          試題詳情

          ②自然對(duì)數(shù):以作底為無理數(shù),= 2.71828…… ,   寫成 

          試題詳情

          40、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):

          試題詳情

          如果  a > 0 , a ¹ 1, M > 0 ,N > 0,那么 (1)                          ;

          試題詳情

          (2)                ; (3)             

          試題詳情

          41、換底公式:              ( a > 0 , a ¹ 1 ;)

          說明:兩個(gè)較為常用的推論:

          試題詳情

          (1)  ____;  (2)         、且均不為1).

          十四、對(duì)數(shù)函數(shù)

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          42、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中是自

          變量。

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          43、對(duì)數(shù)函數(shù)在底數(shù)這兩種情況下的圖象和性質(zhì)列表:

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          質(zhì)

          (1)定義域:

          (2)值域:

          (3)過點(diǎn)(  , ),

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          當(dāng)時(shí),_____;

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          當(dāng)時(shí),_____;

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          越___,圖象越靠近_________

          (3)過點(diǎn)(  , ),

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          當(dāng)時(shí),_____;

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          當(dāng)時(shí),_____;

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          越___,圖象越靠近_________

           

          (4)單調(diào)性:在______上是  函數(shù)

           

          (4)單調(diào)性:在______上是    函數(shù)

           

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