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遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈9：

極限

第   I   卷

一 選擇題（每小題5分，共60分）

1 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若時(shí)該命題成立，那么可推得時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)，該命題不成立，則可以推得（    ）

A 時(shí)該命題成立                             B 時(shí)該命題不成立

C 時(shí)該命題成立                             D 時(shí)該命題不成立

2 下面四個(gè)命題中：

  （1）若是等差數(shù)列，則的極限不存在；

  （2）已知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的極限為1或-1。

  （3）已知，則。

  （4）若，則，數(shù)列的極限是0。

其中真命題個(gè)數(shù)為（   ）

A 1                     B 2                     C 3                      D 4

3 如果存在，則的取值范圍是（   ）

 A         B        C            D

4 已知，那么數(shù)列在區(qū)間為任意小的正數(shù)）外的項(xiàng)有（   ）

   A 有限多項(xiàng)                        B 無限多項(xiàng)         

   C 0                               D 有可能有限多項(xiàng)也可能無限多項(xiàng)

5 下列數(shù)列中存在極限的是（  ）

A     B       C        D

6 （     ）

   A  1                  B                 C                       D 2

7 （  ）

 A 1                  B                    C                    D

8 已知，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

   A          B      C         D

9 在等比數(shù)列中，且前項(xiàng)的和為切滿足，則的取值范圍是（   ）

A             B               C                D

10  （    ）

A  4                B  8                C                    D

11 已知等比數(shù)列的公比為，則有，則首項(xiàng)的取值范圍是（  ）

A                           B

C                              D

1.      已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足條件：①；②且 ③當(dāng)時(shí)。若的反函數(shù)是，則不等式的解集為

（   ）

A             B               C               D

第   II    卷

二 填空題

13 若，則____________

14 已知函數(shù)，若存在，則的值為_________，

15 設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_____。

16已知拋物線與軸交于點(diǎn)A，將線段OA的等分點(diǎn)從坐到右依次記為，過這些分點(diǎn)分別作軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次是 ，從而得到個(gè)直角三角形，當(dāng) 時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為_________

三 解答題

17 已知函數(shù)在處連續(xù)，求實(shí)數(shù)的值。

18 已知是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為；是首項(xiàng)為1，公為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，設(shè)，若， 

求實(shí)數(shù)和的值。

19 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記。

（1）寫出數(shù)列的前四項(xiàng)。

（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（3）令，求。

20 已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）若數(shù)列滿足，為前項(xiàng)和，若，求實(shí)數(shù)的值。

21 若不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù) 的最大值，并證明你的結(jié)論。

22 已知數(shù)列，與函數(shù)滿足條件：。

  （1）若，且存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示。

  （2）若函數(shù)為上的函數(shù)，，試證明對(duì)任意的。

1 D 解析：由已可知，該命題滿足數(shù)學(xué)歸納法定義，即存在某自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有 均成立，而時(shí)，命題不成立，是針對(duì)命題不成立中的有限項(xiàng)，顯然針對(duì)時(shí)，

命題不會(huì)成立。，故選D。

2 A 解析：若為常數(shù)列，可知（1）為假命題；而由極限存在的唯一性，可知（2）也為假命題；對(duì)于（3）滿足極限定義可知是正確的；對(duì)于（4），由于與極限定義矛盾，應(yīng)該趨于該數(shù)時(shí)的項(xiàng)，即不為0，故（4）也為假命題。故選A。

3 D 解析：當(dāng)時(shí)，極限顯然不存在，而時(shí)，可得為常數(shù)數(shù)列存在極限，時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，極限不存在，故選D。

4 B解析：由，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，無限趨于，而數(shù)列在區(qū)間為任意小的正數(shù)），即所有趨于的項(xiàng)應(yīng)該有無數(shù)多項(xiàng)，選B。

5 D解析：容易知道A應(yīng)該為項(xiàng)為0和2的擺動(dòng)數(shù)列，不存在極限；B為包含三個(gè)項(xiàng)1，0，-1循環(huán)出現(xiàn)的數(shù)列，不存在極限；C一定不存在極限；而D中為兩個(gè)特征列，而時(shí)，故極限存在，故選D。

6 C解析：    

                                                                                                                                                                                                                                     ，選C。

7 C解析：                                        

     故有，選C。

8 C解析：當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)， ，故選C。

9 D解析：                                                 

 ，故選D。

10 C 解析：原式=，選C。

11 D 解析：由可知或，故知D符合題意。

12 C 解析：由反函數(shù)定義可知，而，故函數(shù)是上的增函數(shù)，故有也是定義域上的增函數(shù)，由可知C符合題意。

13  解析：                                                     

14 解析：，

故易得

15 解析：，由由，所以，所以為1。

16 解析： 可分別表示各個(gè)三角形的面積后再求。，

， =，故

17解析：因?yàn)?sub>在處連續(xù)，則存在，即存在且相等，存在，則中必定含有因式。即是方程的根，故有，①則，

同樣存在， 則含有因式，則即是方程的根，即有，②故有，故有，③，故有，再由，故有。

18解析：由題可知，，故有

     ，故

，故有

，并項(xiàng)整理可得

，由極限定義，必有

19解析：（1）由，可得，于是有

（2）可猜測(cè)，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

① 當(dāng)時(shí)，由于歸納已經(jīng)證明符合猜測(cè)。

② 假設(shè)時(shí)，猜測(cè)成立，即，而

則有時(shí)，

  ，即對(duì)時(shí)，猜測(cè)仍然成立。

（3） ，

。

20解析：（1）

      ，化解可得

，由于，故有，即為公差為4的等差數(shù)列，再由，故有。

（2） 由有，

，故有

，由于其他部分為常數(shù)，故必然有存在，即有，此時(shí)有

21解析：當(dāng)時(shí)。可猜測(cè)的最大值為25。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）時(shí)，命題成立已經(jīng)證明。

（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，

則當(dāng)時(shí)，

=

故有

  ，即命題對(duì)于時(shí)也成立。

故的最大值為25。

22解析：（1）由題設(shè)可知，即，兩式子相減，可得，則是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，

則，，左右兩邊分別相加可得，故可得

，由于存在，則

 存在，故有，故且

。

（2）因，故有，即 ，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

①  當(dāng)時(shí)，由為增函數(shù)，且，得

，即命題成立。

 ②  假設(shè)命題當(dāng)時(shí)成立，即，則由為增函數(shù)，可得

    ，從而，

即命題對(duì)時(shí)仍然成立，故對(duì)任意的成立。