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          遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈7：
          立體幾何
          高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題.
           
              例1  四棱錐P―ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.
              （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；
              （2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
          


          
 
          
  
  
          
   
          
    
    
          
    
          為從而只要算出四棱錐的高就行了.
          面ABCD,
              ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
             
∴PA⊥DA，
             
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，
                ∠PAB=60°.                

                而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,
               .                                     
          （2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.
                作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，
                是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
                   
設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，
                   
                              
                在
               故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.                    
              本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎,
特征鮮明的好題.
           
          


          
 
          
  
  
            
   
            
    
    
            
    
            （1）求證：AB­1⊥平面CED；
            （2）求異面直線AB1與CD之間的距離；
            （3）求二面角B1―AC―B的平面角.
            講解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
            ∴CD⊥平面A1B1BA 
∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
            （2）由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE
            ∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1
            ∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段
            ∵CE=，AC=1 , ∴CD=
            ∴；
            （3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC , 
            ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.
            在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,
            ∴∠B1AC=600
            ∴，  ∴,
            ∴  , ∴.
            作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.
            例3  如圖a―l―是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
            （I）                                                           
求三棱錐D―ABC的體積；
            （2）求二面角D―AC―B的大小；      
            （3）求異面直線AB、CD所成的角.
                
               
              講解:  (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長至E. 
            為二面角a―l―的平面角..
            是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=
            （2）過O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO  為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
              （3）在平在內(nèi)，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,
            異面直線AB,CD所成的角為arctg
                比較例2與例3解法的異同, 你會(huì)得出怎樣的啟示? 想想看.
             
                例4


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圖①                      
 圖②
               
                 講解:  設(shè)容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為,
                      
                             
.
                 
當(dāng)且僅當(dāng)
.
              故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為
              對(duì)學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來講，三次函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類似的問題是:
                  某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最�。慈萜鞯谋砻娣e最小）.
                 例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
              D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
                  （1）求證：AP⊥平面BDE；                

              （2）求證：平面BDE⊥平面BDF；
              （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐
              P―ABC所成兩部分的體積比．
              講解:  (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
              由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
                （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF//AP．
              由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
              又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
                （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則
                        
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
                   
                  故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1
              值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè), 希不要犯這種”會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.
              例6  已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）
              為p的拋物線.
              


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              （1）求圓錐的母線與底面所成的角；
              （2）求圓錐的全面積．
                 
講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，
              由題意得：,
              即,
              所以母線和底面所成的角為
              （2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與
              AC的交點(diǎn)，則OO1//AB且 
              在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=－2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得
              R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
              ∴圓錐的全面積為.
              將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向.
類似請(qǐng)思考如下問題:
                   一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓．已知橢圓的
              長軸長為5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母      
              線長為1，則該幾何體的體積等于         
．
               
                 例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).
              


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                  （2）求證：AF⊥BD；
                   (3) 求二面角B―FC―G的正切值.
                  講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，
                  ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，
                      ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
                      ∴FD∥面ABC.
                  （2）∵AB=EA，且F為EB中點(diǎn)，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC
                  ∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點(diǎn)，∴AG⊥GC.
                  ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ② 
                  由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
                      （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
                  過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.
                  ∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.
                  易求.
                      例8  如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點(diǎn)，且
                  D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
                   
                  (1) 求證PQ∥平面CDD1C1；
                   
                   
                   (2) 求證PQ⊥AD；
                   
                   
                   (3) 求線段PQ的長. 
                  講解: 
（1）在平面AD1內(nèi)，作PP1∥AD與DD1交于點(diǎn)P1，在平面AC內(nèi)，作
                  QQ1∥BC交CD于點(diǎn)Q1，連結(jié)P1Q1.
                      ∵ ,    
∴PP1QQ1 .?
                  由四邊形PQQ1P1為平行四邊形,   知PQ∥P1Q1? ?
                  而P1Q1平面CDD1C1，  所以PQ∥平面CDD1C1?
                  （2）AD⊥平面D1DCC1，    ∴AD⊥P1Q1，?
                  又∵PQ∥P1Q1，   ∴AD⊥PQ.?
                  （3）由（1）知P1Q1 PQ,
                  ，而棱長CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=.
                  在Rt△P1DQ1中，應(yīng)用勾股定理, 立得
                  P1Q1=.?
                  做為本題的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD,上的動(dòng)點(diǎn),試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對(duì)照, 你會(huì)得到什么啟示?
                  如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=
                  （1）      
求MN的長；
                  （2）      
當(dāng)為何值時(shí)，MN的長最��；
                  （3）      
當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                  立體幾何知識(shí)是復(fù)課耗時(shí)較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點(diǎn), 依據(jù)課本, 熟化知識(shí), 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會(huì)突破解答立幾考題的道道難關(guān).