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1、了解函數(shù)模型的含義及建立函數(shù)模型的總體思路

2、掌握建立函數(shù)模型的方法及應(yīng)用的步驟

【教學(xué)重點(diǎn)】利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)難點(diǎn)】分析實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，建立合適的函數(shù)模型。

【教學(xué)流程】

解：【方法一】（26-14.1）÷0.7×100＝1700（米）

答：山高1700米

說(shuō)明：這一方法實(shí)質(zhì)是用的小學(xué)的算術(shù)方法

【方法二】設(shè)山高為x米，則×0.7=26-14.1,x=1700     答：山高1700米

說(shuō)明：這一方法是通過(guò)方程求解。

【方法三】設(shè)x米處溫度為f(x),則f(x)=26-×0.7(x>0)  f(x)=14.1,x=1700答：山高1700米

說(shuō)明：這一方法是通過(guò)函數(shù)求解。

總體說(shuō)明：1、由于所以將不等式、方程、函數(shù)統(tǒng)稱函數(shù)模型。這樣解答應(yīng)用題的具體步驟及思路為：

（用函數(shù)模型思路解題步驟是：設(shè)??列??解??答）

2、以上直接通過(guò)設(shè)未知量得到關(guān)系式再求解，稱直接法

練習(xí)1、某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不超過(guò)，若初時(shí)含雜質(zhì)，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)需求？

(已知)

（解：每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少，則雜質(zhì)含量降為原來(lái)的，那么過(guò)濾次后雜質(zhì)含量為，結(jié)合按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不能超過(guò)， 則有即則故，

   又，故，即至少要過(guò)濾次才能達(dá)到市場(chǎng)要求。）

練習(xí)2、某商人進(jìn)貨已經(jīng)按原價(jià)a扣去25%,他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20％銷售后仍然能獲得售價(jià)25％的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y的關(guān)系式是什么？

解：設(shè)新價(jià)為t,則，t=,y=20%tx=(x>0)

例2、國(guó)家收購(gòu)某種農(nóng)副產(chǎn)品的價(jià)格是120元/擔(dān)，征稅標(biāo)準(zhǔn)為8％，計(jì)劃可以收購(gòu)m萬(wàn)擔(dān)。為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定調(diào)節(jié)稅率降低x%，預(yù)計(jì)收購(gòu)量可以增加2x%

(1)寫出稅收y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后等于元計(jì)劃的78％，請(qǐng)確定x的值

分析：由于給出的信息比較多，建一個(gè)表格，將基本信息列出，有：

時(shí)間段

征稅

收購(gòu)（萬(wàn)擔(dān)）

收購(gòu)價(jià)（元/擔(dān)）

調(diào)節(jié)前

8％

m

120

調(diào)節(jié)后

(8-x)%

m(1+2x%)

120

于是

解：（1）y=(8-x)%m(1+2x%)120=(100+2x)(8-x)  (0<x≤8)

（2）y=120×8％m×78％(8-x)%m(1+2x%)120=120×8％m×78％x²+42x-88=0,0<x≤8，x=2

說(shuō)明：對(duì)于信息量比較大又有對(duì)比度的情況，列表來(lái)建立各數(shù)量關(guān)系，稱列表法

例3、張先生買了一部手機(jī)，欲使用“神州行”卡或“中國(guó)聯(lián)通130網(wǎng)” 各種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下

類別

月租（元）

本地費(fèi)用（元/分）

長(zhǎng)話（元/6分）

中國(guó)聯(lián)通130網(wǎng)

12

0.36

0.06

神州行

0

0.6

0.07

若張先生每月?lián)艽虮镜卦捹M(fèi)的時(shí)間是長(zhǎng)途話費(fèi)的5倍，且每月通話時(shí)間在(40,50)分鐘之間，則他選擇哪種比較合算？

解：設(shè)本地為x分，則長(zhǎng)話時(shí)間為5x，中國(guó)聯(lián)通130網(wǎng)話費(fèi)為f(x),神州行為g(x),則f(x)=12+0.36x+0.06×＝x+12,g(x)=0.6x+0.07×＝，x+5x∈(40,50),<x<,作出圖象（或計(jì)算可知g(x)<f(x)）故他宜選用神州行卡

說(shuō)明：可以通過(guò)圖象來(lái)反應(yīng)函數(shù)關(guān)系稱圖象法

2、函數(shù)模型包括函數(shù)本身，還包括方程與不等式

3、建立函數(shù)模型的具體技巧有：直接法、列表法、圖象法

【補(bǔ)充作業(yè)】

1、某家報(bào)刊售點(diǎn)從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.35元，賣出的價(jià)格是每份0.50元，賣不掉的報(bào)紙還可以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社。在一個(gè)月(30天)里，有20天每天可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份。設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙的數(shù)量相同，則應(yīng)該每天從報(bào)社買進(jìn)_______份，才能使每月所獲的利潤(rùn)最大,最多可賺得_______元？

2、節(jié)日某商場(chǎng)舉行“買100送20連環(huán)送”活動(dòng)，即：顧客購(gòu)物每滿100元，就可以獲增商場(chǎng)20元的購(gòu)物卷。若某人有680元現(xiàn)金在活動(dòng)區(qū)間到此商場(chǎng)購(gòu)物，最多可以獲得商場(chǎng)購(gòu)物卷使用累計(jì)___________元。

3、某電腦用戶不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買兩盒，則不同的選購(gòu)方式有________種。

4、甲乙兩種商品，甲商品供不應(yīng)求，連續(xù)兩次提價(jià)10％；乙商品滯銷連續(xù)兩次降價(jià)10％，最后甲乙都以9801元售出，則與總原價(jià)比較，________（填“多”或“少”）賺了_______元

5、某地的物價(jià)從1967年的100增加到2006年的500，則年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)_______(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù)及式子：ln(x+1)≈x,lg2≈0.3,ln10≈2.3)

6、為了保護(hù)環(huán)境，某廠投資50萬(wàn)元建成一個(gè)處理系統(tǒng)，把污染環(huán)境的廢料變?yōu)橛杏玫纳�產(chǎn)原料。如果每月用2萬(wàn)元的成本進(jìn)行生產(chǎn)，那么生產(chǎn)收入(單位：萬(wàn)元)與生產(chǎn)時(shí)間t(單位：月)的關(guān)系為，問(wèn)： (1)最少需經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，生產(chǎn)收入與總投入基本平衡？()； (2)經(jīng)過(guò)幾個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？

7、某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每月的月租金為3000元時(shí)，可以全部租出；當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車輛會(huì)增加一輛。租出的車輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。（1）當(dāng)每月月租金為3600元時(shí)，能租出多少輛？（2）每月月租金為多少元時(shí)，租賃公司月收益最大？最大月收益是多少？

8*、某企來(lái)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1百臺(tái)時(shí)，又需可變成本(即另增加投入)萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此商品的年需求量為5百臺(tái)，銷售的收入(單位:萬(wàn)元)函數(shù)為，其中是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量

(單位：百臺(tái)) (1)求利潤(rùn)表示為產(chǎn)量的函數(shù)； (2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？ (3)年產(chǎn)量是多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？

   【解答】

1、設(shè)每天應(yīng)從報(bào)社買進(jìn)份，易知。設(shè)每月賺元，得

＝0.3x+1150↑所以，可知每天應(yīng)從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙，獲得利潤(rùn)最大，每月可賺1170元

2、160

3、7

4、9801×2－（＋）＝－598，少，598

5、100(1+x)⁴⁰=500,40ln(1+x)=ln5,lg5=,40x=ln10lg5=2.3(1-lg2),x≈0.04=4%

6、解：設(shè)生產(chǎn)t個(gè)月可得利潤(rùn)為

  設(shè)，則

(1)要使生產(chǎn)收入與總投入基本平衡，即使，令得，

解得(舍去)由得即最少要經(jīng)過(guò)4個(gè)月，生產(chǎn)收入與總投入基本平衡。

(2)由知，時(shí)，，由時(shí)，即經(jīng)過(guò)個(gè)月，可獲得最大利潤(rùn)萬(wàn)元。

7、（1）100－＝88（輛）

（2）設(shè)租金為x元，則未租出的為輛，月收益y=（100－）（x-150）-×50＝－(x-4050)²+307050,x=4050時(shí)，y_max=307050

答：當(dāng)每月月租金為3600元時(shí)，能租出88輛？（2）每月月租金為4050元時(shí)，租賃公司月收益最大，最大月收益是307050元

8*、解：(1)利潤(rùn)函數(shù)

(2)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，(萬(wàn)元)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)是遞減函數(shù)，則(萬(wàn)元)。

。

答：當(dāng)年產(chǎn)量是百臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大。

(3)企業(yè)不虧本，即

  或

  解得，或，其中，

  。

  答：即企業(yè)年產(chǎn)量在臺(tái)到臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本。

              2.6函數(shù)模型及應(yīng)用（2）??函數(shù)模型應(yīng)用與比較

【教學(xué)目標(biāo)】

2、函數(shù)模型不惟一時(shí)，需要比較找出誤差最小的模型來(lái)進(jìn)行

【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)據(jù)的擬合

【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)模型的比較

【教學(xué)流程】

(1)設(shè)一次訂購(gòu)量為件，服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)了件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)是多少元？(服裝廠售出一件服裝的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本)

解：（1）p=f(x)=

(2)x=450時(shí)，p=51,利潤(rùn)為(p-40)x=4950（元）

答：當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)了件服裝時(shí)，該服裝廠獲得的利潤(rùn)是4950元

解函數(shù)應(yīng)用題一定要注意函數(shù)的定義域

練習(xí)：某商場(chǎng)在近30天內(nèi)的銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是：

P=,該商品的日銷售量Q（件）與天數(shù)函數(shù)關(guān)系是Q=-t+40,0<t≤30，t∈N^*,求這種商品的日銷售額的最大值，并指出是哪一天銷售額最大？

（答案：y=QP=,t=10時(shí)y_極大＝900；t=25時(shí)，y_極大＝1125；當(dāng)?shù)?5天時(shí)，日銷售額最大為1125元）

例2、在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a₁，a₂，…a_n共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量物理量的“最佳近似值” a是這樣一個(gè)量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最�。�依此規(guī)定，從a₁，a₂，…，a_n求出a的值

解：根據(jù)題意，求x=? 時(shí)，y=(x-a₁)²+(x-a₂)²+……+(x-a_n)²=nx²-2(a₁+a₂+……+a_n)x+

a₁²+a₂²+……+a_n²,當(dāng)x=時(shí)，y最小，所以a=

     說(shuō)明：應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意

例3、下表是某款車的車速與剎車后停車距離，試分別就三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車速為時(shí)的剎車距離。

車速(km/h)

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

停車距離(m)

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

解：【方法一】若以為模擬函數(shù)，將代入函數(shù)關(guān)系式，得

，解得，

以此函數(shù)式計(jì)算車速為，時(shí)，停車距離分別為，與實(shí)際數(shù)據(jù)相比，誤差較大。

若以為模擬函數(shù)，將代入函數(shù)式，得y=0.3251x^1.09,其他誤差也比較大

解得，

以此函數(shù)式計(jì)算車速為時(shí)，停車距離分別為，與前兩個(gè)相比，它比較符合實(shí)際情況。

當(dāng)時(shí)，。即當(dāng)車速為時(shí)，停依次車距離為。

    【方法二】用數(shù)據(jù)曲線擬合：先在Excell中輸入數(shù)據(jù)→選中數(shù)據(jù)區(qū)→插入/圖表/圖表類型/散點(diǎn)圖/完成→對(duì)準(zhǔn)描出的某一點(diǎn)右擊/添加趨勢(shì)線/選指數(shù)、乘冪、多項(xiàng)式

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

→選項(xiàng)/顯示公式和顯示R²的值→確定   R²越接近1，擬合的越好，所以選擇多項(xiàng)式模型y=0.0064x²+0.1256x+2.7374

說(shuō)明：選擇哪個(gè)函數(shù)模型，主要考慮其誤差最小

練習(xí)：某公司今年一月份推出新產(chǎn)品，成本為元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，銷售量與銷售價(jià)的關(guān)系如下表：

銷售價(jià)(元/件)

650

662

720

800

900

銷售量/件

350

333

281

200

100

(1)在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并確定與 的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此產(chǎn)品的月銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)上述關(guān)系寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，并指出當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。

((1)

650

350

662

333

720

281

800

200

900

100

近似在一條直線上取后兩組，有f(x)=100-x  x∈N^*

(2)S=(1000-x)(x-400)=-x²+1400x-400000,當(dāng)x=700時(shí)利潤(rùn)最大)

2、函數(shù)模型未必惟一，這時(shí)需要比較哪個(gè)更合適，一般找出一個(gè)，檢驗(yàn)誤差最��；也可以舉行數(shù)據(jù)擬合，取回歸系數(shù)R²最接近1者

【補(bǔ)充作業(yè)】

1、某物體一天的溫度T（⁰C）是時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，T(t)=t³-6t+60，t=0表示12：00，其后t取正，則上午8時(shí)的溫度是___________

2、有一塊“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如圖示，要用此建一座地基為長(zhǎng)方形的建筑物，地基面積最大是______________

3、通過(guò)研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)在課堂里學(xué)生接受一個(gè)概念的那里與教室在引入概念之前提出和描述問(wèn)題的時(shí)間有關(guān)。分析結(jié)果表明學(xué)生接受概念的能力的經(jīng)驗(yàn)公式為G(x)=-0.1x²+2.6x+43,x∈(0,45),其中x表示提出和描述問(wèn)題的時(shí)間（單位：分鐘），G(x)是一個(gè)接受能力的度量。則當(dāng)_______________時(shí)間時(shí)，學(xué)生接受能力最強(qiáng)。

4、《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)1600元的部分不必納稅，超過(guò)1600元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額

稅率

不超過(guò)500元的部分

5%

超過(guò)500元至2000元的部分

10%

超過(guò)2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得為_(kāi)_________

5、假設(shè)你有一筆資金用于投資，投資時(shí)間1個(gè)月，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案

回報(bào)

一

每天回報(bào)40元

二

第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元

三

第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番

若以每天回報(bào)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，你應(yīng)選用方案____________投資

6、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近的40天內(nèi)的銷售價(jià)格f(t)與時(shí)間t滿足關(guān)系f(t)=

,銷售量g(t)與時(shí)間t滿足關(guān)系g(t)=-t+,0≤t≤40，t∈N^*,求這種商品的日銷售額的最大值

 7、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)．知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，且比例系數(shù)為b；固定部分為a元．

(Ⅰ)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(Ⅱ)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

8*、(1)校團(tuán)委帶領(lǐng)學(xué)生深入食堂調(diào)查學(xué)校購(gòu)買大米的情況，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

①大米貯存在倉(cāng)庫(kù)的費(fèi)用為每天每噸2元。

②學(xué)校有兩千多人，食堂每天約需大米1噸，現(xiàn)市場(chǎng)價(jià)每公斤大米元。

③每隔一定的天數(shù)，食堂管理員去買一次大米，運(yùn)費(fèi)為元。

(2)食堂管理員遇到三個(gè)問(wèn)題：

①每次購(gòu)買大米后到用完最后1噸大米的倉(cāng)庫(kù)貯存費(fèi)用能否用數(shù)學(xué)解析式表示？(假定食堂每次是在用完最后一噸大米的當(dāng)天購(gòu)買)

②食堂應(yīng)隔多少天購(gòu)買一次大米，才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少？

③供糧公司提出價(jià)格優(yōu)惠條件，一次購(gòu)買量不少于噸，米價(jià)可為原米價(jià)的95%，食堂能否接受此條件？

【答案】

1、20^）C

2、720

3、13分鐘

4、2357.8元

5、三

6、H(x)=f(x)g(x)=,當(dāng)t=10或11時(shí)，h_max(t)=176,答：這種商品的日銷售額的最大值為176元

7、(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為

 y=a?+bv²?=S(+bv)故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?y = S(+bv)，v∈

 (Ⅱ)依題意知S、a、b、v都為正數(shù)，故有y = Sb(+v),f(v)=+v在(0,]↓，在[,+∞)↑  故若，則當(dāng)時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最�。�

若，當(dāng)時(shí)，有也即當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最�。�

綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為；當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為c．

8*、建模1  設(shè)每隔天購(gòu)買一次大米，則一次購(gòu)進(jìn)噸米，進(jìn)米第一天的倉(cāng)庫(kù)貯存費(fèi)用為，進(jìn)米第二天的倉(cāng)庫(kù)貯存費(fèi)用為

    最后一天的倉(cāng)庫(kù)貯存費(fèi)用為，則大米貯存在倉(cāng)庫(kù)的費(fèi)用為

建模2  設(shè)食堂平均每天支付的總費(fèi)用為，則

令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故每隔天購(gòu)買一次大米，能使食

堂平均每天支付的總費(fèi)用最少。

建模3  設(shè)食堂接受價(jià)格優(yōu)惠條件后，每天支付的總費(fèi)用為，則

       ，

令，設(shè)則

在上單調(diào)遞增。

    故當(dāng)時(shí)，的最小值為元，由于，所以學(xué)校食堂能接受價(jià)格優(yōu)惠條件。