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北京市2009屆高三數(shù)學(xué)期末試題分類匯總－圓錐曲線

1、（2009崇文區(qū)）已知點，直線，點B是l上的動點， 過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是                                                   A

    （A）拋物線                   （B）橢圓            （C）雙曲線的一支     （D）直線

3、（2009豐臺區(qū)）．雙曲線的焦點坐標為（    ）D  

       A．（? 1，0），（1，0）                                          B（? 3，0），（3，0）

C．（0，? 1），（0，1）                                          D．（0，? 3），（0，3）

4、（2009東城區(qū)）已知垂直豎在水平地面上相距20米的兩根旗桿的高分別為10米和15米,地面上的動點到兩旗桿頂點的仰角相等,則點的軌跡是(   )B

    A.橢圓               B.圓             C.雙曲線                D.拋物線

5、（2009海淀區(qū)）拋物線的準線方程為                      （    ）A 

       A．             B．             C．             D．

6、（2009西城區(qū)）已知圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是    （   ）B

A. 圓                                 B. 橢圓        

C. 雙曲線                             D. 拋物線

7、（2009崇文區(qū)）已知橢圓的中心在坐標原點，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）判斷能否成為等邊三角形，并說明理由．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 (a>b>0) ，

由已知

∴                ----------------------------------2分

      ∴ 橢圓方程為．           ---------------------------------------------4分

（Ⅱ）解法一

橢圓右焦點．

設(shè)直線方程為（∈R）．          -------------------------------5分

由    得．①          -----------6分

顯然，方程①的．

設(shè)，則有．     ----7分

     ．

∵，

∴ ．

解得．

∴直線PQ 方程為，即或．    ----------9分

解法二： 橢圓右焦點．

當(dāng)直線的斜率不存在時，，不合題意．

設(shè)直線方程為，            --------------------------------------5分

由  得．   ①     ----6分

顯然，方程①的．

設(shè)，則．      --------7分

    =．

∵，

∴，解得．

∴直線的方程為，即或．  --------9分

   （Ⅲ）不可能是等邊三角形．   ------------------------------------------------11分

     如果是等邊三角形，必有，

      ∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

     ∴，或（無解）．

     而當(dāng)時，，不能構(gòu)成等邊三角形．

     ∴不可能是等邊三角形．--------------------------------------------------------14分

8、（2009豐臺區(qū)）設(shè)橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長軸長為，設(shè)過右焦點F傾

斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點。

       （Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）求證| AB | =；

（Ⅲ）設(shè)過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小

值。

解：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…3分

       （Ⅱ）當(dāng)≠，設(shè)直線AB的斜率為k = tan，焦點F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為

              y = k ( x ? 3 )         有( 1 + 2k² )x² ? 12k²x + 18( k² ? 1 ) = 0

              設(shè)點A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )             有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

              |AB| = ** … 6分

              又因為   k = tan=          代入**式得

              |AB| = ………… 8分

              當(dāng)=時，直線AB的方程為x = 3，此時|AB| =……………… 10分

              而當(dāng)=時，|AB| ==          

綜上所述       所以|AB| =

       （Ⅲ）過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，

              同理可得       |CD| == ……………………… 12分

              有|AB| + |CD| =+=

              因為sin2∈[0，1]，所以  當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時，|AB|+|CD|有

最小值是  ………………………… 14分

9、（2009昌平區(qū)）直線與拋物線相交于A、B兩點，Ｏ為拋物線的頂點，若．證明：直線過定點．

證明：

（I）當(dāng)直線有存在斜率時，設(shè)直線方程為，顯然．………2分

聯(lián)立方程得：消去

由題意：           ……………………5分

又由得，      　　 　…………… …………………………7分

即，解得    　………………………………………9分

故直線的的方程為：，故直線過定點 　  ……………11分

（II）當(dāng)直線不存在斜率時，設(shè)它的方程為，顯然

聯(lián)立方程得： ,即

又由得，即，解得  

可知直線方程為：，故直線過定點                            

綜合（１）（２）可知，滿足條件的直線過定點．………………………13分

10、（2009東城區(qū)）已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

解: (Ⅰ)由已知拋物線的焦點為,故設(shè)橢圓方程為.

        將點代入方程得,整理得,

         解得或(舍).

        故所求橢圓方程為. …………………………………………6分

 (Ⅱ)設(shè)直線的方程為,設(shè)

代入橢圓方程并化簡得,               ………………9分

由,可得 .        ( )

由,

故.                          

又點到的距離為,                             ………………11分

故,

當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號(滿足式)

所以面積的最大值為.                        ………………13分

11、（2009海淀區(qū)）已知點A（0，1）、B（0，-1），P為一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為

   （I）求動點P的軌跡C的方程；

   （II）設(shè)Q（2，0），過點（-1，0）的直線交于C于M、N兩點，的面積記為S，若對滿足條件的任意直線，不等式的最小值。

解：（I）設(shè)動點P的坐標為

       由條件得…………3分

       即

       所以動點P的軌跡C的方程為…………5分

       注：無扣1分

   （II）設(shè)點M，N的坐標分別是

       當(dāng)直線

       所以

       所以…………7分

       當(dāng)直線

       由

       所以…………9分

       所以

       因為

       所以

       綜上所述…………11分

       因為恒成立

       即恒成立

       由于

       所以

       所以恒成立�！�………13分

       所以…………14分

       注：沒有判斷為銳角，扣1分

12、（2009西城區(qū)）已知拋物線，點M(m,0)在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點.

（Ⅰ）若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（Ⅱ）若存在直線l使得成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍.

（Ⅰ）解：由題意，得，直線l的方程為.

由, 得,

設(shè)A, B兩點坐標為,  AB中點P的坐標為,

則,

故點           -----------------3分

所以,

故圓心為, 直徑,

所以以AB為直徑的圓的方程為；     --------------6分

方法一：（Ⅱ）解：設(shè)A, B兩點坐標為, .

則,

      所以                     1             

      因為點A, B在拋物線C上,

      所以,                     2            

      由12，消去得.                     ------------------10分

      若此直線l使得成等比數(shù)列，則，

      即，所以，

      因為，，所以，

整理得，             3      --------------------12分

      因為存在直線l使得成等比數(shù)列，

所以關(guān)于x₁的方程3有正根，

      因為方程3的兩根之積為m²>0, 所以只可能有兩個正根，

      所以，解得.

故當(dāng)時，存在直線l使得成等比數(shù)列.  ----------14分

方法二：（Ⅱ）解：設(shè)使得成等比數(shù)列的直線AB方程為或,

當(dāng)直線AB方程為時, ，

因為成等比數(shù)列,

所以，即，解得m=4，或m=0(舍)------8分

當(dāng)直線AB方程為時，

    由，得，

設(shè)A, B兩點坐標為,

則,                         1   

由m>0, 得.

因為成等比數(shù)列, 所以,

所以，               2 

   因為A, B兩點在拋物線C上，

所以,                  3---------------11分

   由123，消去,

得,

因為存在直線l使得成等比數(shù)列，

所以,

       綜上，當(dāng)時，存在直線l使得成等比數(shù)列.  ----------------------14分