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練習冊

練習冊
試題

甘肅省2009年高三年級第二次高考診斷

數(shù) 學(xué) 試題

考生注意

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時間120分鐘。

所有試題均在答題卡上作答，其中，選擇題用2B鉛筆填涂，其余題詠0.5毫米黑色墨水簽字筆作答。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨立，那么 P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

球的表面積公式其中R表示球的半徑

球的體積公式其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

1．設(shè)全集U為實數(shù)集R，集合，則

（）

A． B． C． D．

2．的展開式中的常數(shù)項是（）

A．-15 B．15 C．-30 D．30

3．（理科）設(shè)隨機變量的值為

（）

A． B． C． D．

（文科）若的值是（）

A． B． C． D．

4．若實數(shù)滿足條件，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．

5．（理科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為（）

A．0 B．銳角 C．直角 D．鈍角

（文科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為

（）

A．0 B．銳角 C．直角 D．鈍角

6．等差數(shù)列{a_n}的公差d＜0，且，則數(shù)列{a_n}前n項和為S_n取最大值時n=（）

A．6 B．5 C．5或6 D．6或7

7．在邊長為2的等邊△ABC中，O為△ABC的中點，則= （）

A．-2 B．2 C．1 D．-4

8．若為銳角，則下列各式中可能成立的是（）

A． B．

C． D．

9．正四面體ABCD的棱長為1，G是底面△ABC的中點，M在線段DG上且使

∠AMB=90°。則GM的長等于（）

A． B． C． D．

10．已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，滿足MF₁⊥MF₂的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率

的取值范圍是（）

A． B． C． D．

11．（理科）來自中國、英國、瑞典的乒乓球裁判員各兩名，執(zhí)行世錦賽的一號、二號和三號場地的乒乓球裁判工作，每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，則不同的安排方案共有（）

A．48種 B．24種 C．36種 D．96種

（文科）5人排成一行，其中甲、乙不相鄰的排法有（）

A．12種 B．48種 C．72種 D．120種

12．定義在R上的函數(shù)、，其中是奇函數(shù)，且和都有反函數(shù)，

若的圖像關(guān)于直線對稱，g（3）=1000，則f（-7）=（）

A．1002 B．-1002 C．998 D．-998

橫線上。

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的

13．設(shè)地球半徑為R，甲、乙兩地在同一條經(jīng)線上，且甲地位于北緯60°，乙地位于赤道上，

則甲乙兩地的球面距離為。

14．定義一種新運算“+”為x+y=ax+by，（a、b為常數(shù)）。若1+2=5，2+3=8，那么

3+4= 。

15．（理科）4個相同的白球和3個相同的黑球，隨機地排成一行，不同的排法有m種，其

中有且僅有2個黑球相鄰的排法為n種，則。（用數(shù)字作答）

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20090504

上標以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積為0的概率為。

16．右圖是楊輝三角的一部分，下列關(guān)于楊輝三角

的幾個判斷（其中）

①第k行的第r個數(shù)為；

②第k行的所有數(shù)之和是第k-1行所有數(shù)之和的

2倍；

③前k行所有數(shù)之和是2^k；

④從第k行起，將每行的第r-1個數(shù)與r個數(shù)作比，

把這些比值順次排列，可構(gòu)成等差數(shù)列。

其中正確結(jié)論的編號是（寫出所有正確的編號）

三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分10分）

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別是a、b、c，已知c邊長為2，角C為

（1）求△ABC面積的最大值；

（2）若sinB=2sinA，求△ABC的周長。

18．某學(xué)校舉行了一次課外文學(xué)知識競賽，其中一道題是連線題。要求將4名不同的作家與他們所著的4本不同的著作一對一連線，每連對一條得3分，連錯得-1分，有一位參賽者隨記用4條線把作家與著作一對一全部連接起來。

（1）球該參賽者恰好連對一條的概率。

（2）（理科做）設(shè)為該參賽者此題的得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

（文科做）求該參賽者此題得分為非負數(shù)的概率。

19．（本小題滿分12分）

如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE=CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點。

（1）求證DF∥平面ABC；

（2）求AB與平面BDF所成角的大小。

20．（本小題滿分12分）

已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足且的等差中

項。

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

20090504

正整數(shù)n的最小值。

（文科做）若求數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n。

21．（本小題滿分12分）

無論m為任何實數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點。

（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

（2）若直線l經(jīng)過雙曲線C的右焦點F與雙曲線C交于P、Q兩點，并滿足，

求雙曲線C的方程。

22．（本小題滿分12分）

（理科做）已知函數(shù)處取得極值0.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m

的取值范圍。

（3）證明：對任意的正整數(shù)n＞1，不等式都成立。

（文科做）設(shè)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)的兩個極值點。

（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)的解析式；

（2）若，求b的最大值。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13． 14．11 15．（理）（文）16．②④

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17．本小題滿分10分

解：（1）由余弦定理及已知條件得， 1分

∵ 3分

∴ 5分

（2）由正弦定理及已知條件得，b=2a 7分

聯(lián)立方程組 9分

∴△ABC的周長為 10分

18．本小題滿分12分

解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。

則（理）4分（文）6分

（2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12 5分

9分

的分布列為

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

E= 12分

（文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12. 7分

得0分的概率為 8分

得4分的概率為 9分

得12分的概率為 10分

∴該參賽者得分為非負數(shù)的概率為 12分

19．本小題滿分12分

解：（1）取AB的中點G，連接CG，F(xiàn)G，

則FG∥BE，且FG=BE，

∴FG∥CD，且FG=CD，2分

∴四邊形FGCD是平行四邊形，

∴DF∥CG，

又∵CF平面ABC，

∴DF∥平面ABC, 6分

（2）解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為h，

由 8分

在△BDF中，

且CB=2,∴ 10分

設(shè)AB于平面BDF所成的角為，則

故AB與平面BDF所成的角為 12分

解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角

坐標系，則

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

F（1，0，1）。…………………………………………………………………………… 8分

∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）…………………………………………… 8分

設(shè)平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），

∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，

∴cos()===,

即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分

20．本小題滿分12分

解：（1）∵-=0,因為（）（）=0，

∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，∴>0，∴=0，

即所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列…………………………………3分

∴是的等差中項，∴，∴

∴數(shù)列的通項公式……………………………………………… 6分

（2）由（1）及log得，，………………………………… 8分

∵…

∴-…- ①

∴-…- ②

②-①得，+…+

=……………………… （理）10分（文）12分

要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

∴使>50成立的正整數(shù)n的最小值為5�！ɡ恚�12分

21．本小題滿分12分

解：（1）由得（）………………1分

當時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，

∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

當≠2時，=恒成立，

即恒成立，

∵>0，∴，∴，……………………………………3分

∵

∵（）=2，∴ ∴

綜上知………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得

整理得…………………………………………7分

設(shè)兩交點為P（），Q，則

∵=∴……………………………………………………………8分

∴消去得

………………………………………………………………10分

∴>0且∴∴

∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分

22．本小題滿分12分

（理科）解：（1）……………………………………………2分

∵x=0時，取極值0，∴………………………………………………3分

解得a=1,b=0.經(jīng)檢驗a=1,b=0符合題意。………………………………………………4分

（2）由a=1,b=0知由

得

令則在上恰有兩個不同的實數(shù)

根等價于在上恰有兩個不同實數(shù)根。

當時，<0，于是在（0，1）上單調(diào)遞減；

當時，>0，于是在（1，2）上單調(diào)遞增�！�7分

依題意有<0，∴…………………8分

（3）的定義域為>，

由（1）知

當單調(diào)遞減。

當x＞0時，＞0，單調(diào)遞增。

∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

又f（0）=0，故（當且僅當x=0，等號成立） 10分

對任意正整數(shù)n，取

故

= 12分

（文科）解：（1）∵ 1分

依題意有 3分

解得 4分

∴ 5分

（2）∵，依題意x₁、x₂是方程=0的兩個根，

由∴ 7分

設(shè)

由 9分

即函數(shù)在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，在區(qū)間（4，6）上是減函數(shù)

當時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96 10分

∴b的最大值為4 12分

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