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2009年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料（共十三講，103頁(yè)）

29、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座排列、組合的應(yīng)用問(wèn)題

高考要求

排列、組合是每年高考必定考查的內(nèi)容之一，縱觀全國(guó)高考數(shù)學(xué)題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力 

重難點(diǎn)歸納

1  排列與組合的應(yīng)用題，是高考常見(jiàn)題型，其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題  解決這類(lèi)問(wèn)題通常有三種途徑  (1)以元素為主，應(yīng)先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素  (2)以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置  (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)  前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 

2  在求解排列與組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意  

(1)把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；

(2)通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；

(4)列出式子計(jì)算和作答 

3  解排列與組合應(yīng)用題常用的方法有  直接計(jì)算法與間接(剔除)計(jì)算法；分類(lèi)法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種 

4  經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是 

①分類(lèi)討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③對(duì)稱(chēng)思想 

典型題例示范講解

 例1在∠AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有(    )

命題意圖  考查組合的概念及加法原理 

知識(shí)依托  法一分成三類(lèi)方法；法二，間接法，去掉三點(diǎn)共線(xiàn)的組合 

錯(cuò)解分析  A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如  CC中，包括O、B_i、B_j;CC中，包含O、A_p、A_q，其中A_p、A_q,B_i、B_j分別表示OA、OB邊上不同于O的點(diǎn)；B漏掉△A_iOB_j；D有重復(fù)的三角形  如CC中有△A_iOB_j,CC中也有△A_iOB_j 

技巧與方法  分類(lèi)討論思想及間接法 

解法一  第一類(lèi)辦法  從OA邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類(lèi)辦法  從OA邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類(lèi)辦法  從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)  由加法原理共有N=CC+CC+CC個(gè)三角形 

解法二  從m+n+1中任取三點(diǎn)共有C個(gè)，其中三點(diǎn)均在射線(xiàn)OA(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線(xiàn)OB(包括O點(diǎn))，有C個(gè)  所以，個(gè)數(shù)為N=C－C－C個(gè) 

答案  C

例2四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________ 

命題意圖  本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應(yīng)用上述概念處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 

知識(shí)依托  排列、組合、乘法原理的概念 

錯(cuò)解分析  根據(jù)題目要求每所學(xué)校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學(xué)校一人，而后將剩的一人送到一所學(xué)校，故有3A種  忽略此種辦法是  將同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生按進(jìn)入學(xué)校的前后順序，分為兩種方案，而實(shí)際題目中對(duì)進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名學(xué)生是無(wú)順序要求的 

技巧與方法  解法一，采用處理分堆問(wèn)題的方法  解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進(jìn)入同一所學(xué)校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的 

解法一  分兩步  先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生安排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A³₃種  依乘法原理，共有N=C =36(種) 

解法二  分兩步  從每個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生，每人進(jìn)一所學(xué)校，共有A種；而后，再將剩余的一名學(xué)生送到三所學(xué)校中的一所學(xué)校，有3種  值得注意的是  同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生是不考慮進(jìn)入的前后順序的  因此，共有N=A?3=36(種) 

答案  36

例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫(xiě)0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

解法一(間接法)  任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C?2³?A(個(gè))，其中0在百位的有C?2²?A (個(gè))，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù)  C?2³?A－C?2²?A=432(個(gè)） 

解法二 (直接法)   第一類(lèi)  0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個(gè)); 第二類(lèi)  0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個(gè)) 

故共有不同三位數(shù)  48+384＝432(個(gè)） 

學(xué)生鞏固練習(xí)

1  從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線(xiàn)方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)有_________條(用數(shù)值表示) 

2  圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n＞1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)________ 

3  某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？

4  二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個(gè)不同的值，則可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)部的拋物線(xiàn)多少條？

5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)

(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置 

(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊 

(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起 

(4)全體排成一行，男、女各不相鄰 

(5)全體排成一行，男生不能排在一起 

(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變 

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人 

(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人 

6   20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù) 

7  用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？

解析  因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線(xiàn)不同，所以直線(xiàn)的條數(shù)為A=30 

答案  30

2  解析  2n個(gè)等分點(diǎn)可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再?gòu)囊韵碌?2n－2)個(gè)等分點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)，共有C種方法，根據(jù)乘法原理  直角三角形的個(gè)數(shù)為  C?C=2n(n－1)個(gè) 

答案  2n(n－1)

3  解  出牌的方法可分為以下幾類(lèi) 

(1)5張牌全部分開(kāi)出，有A種方法；

(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；

(5)2張2分開(kāi)出，3張A一起出，有A種方法；

(6)2張2分開(kāi)出，3張A分兩次出，有CA種方法 

因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種 

4  解  由圖形特征分析，a＞0,開(kāi)口向上，坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＜0;a＜0,開(kāi)口向下，原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＞0,所以對(duì)于拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c來(lái)講，原點(diǎn)在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線(xiàn)時(shí)，可先定一正一負(fù)的a和c，再確定b,故滿(mǎn)足題設(shè)的拋物線(xiàn)共有CCAA=144條 

5  解  (1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇  有A種，其余6人全排列，有A種  由乘法原理得AA=2160種 

(2)位置分析法  先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個(gè)位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種  則符合條件的排法共有AA－AA=3720種 

(3)捆綁法  將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列  再與其他元素進(jìn)行全排列  共有AA=720種 

(4)插空法  先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有AA=144種 

(5)插空法  先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種 

(6)定序排列  第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840種  ?

(7)與無(wú)任何限制的排列相同，有A=5040種 

(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA  最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可  共有A×A×A=720種 

6  解  首先按每個(gè)盒子的編號(hào)放入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球，然后將剩余的14個(gè)小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個(gè)空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔  將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個(gè)小盒插入15個(gè)空檔的排列數(shù)  對(duì)應(yīng)關(guān)系是  以插入兩個(gè)空檔的小盒之間的“O”個(gè)數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù)  最左側(cè)的空檔可以同時(shí)插入兩個(gè)小盒  而其余空檔只可插入一個(gè)小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有種；若沒(méi)有小盒插入最左側(cè)空檔，有C種  由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法 

7  解  按排列中相鄰問(wèn)題處理  (1)(4)或(2)(4)  可以涂相同的顏色  分類(lèi)  若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種  由加法原理，共有N=2A+A=240種 

8  解  每人隨意值兩天，共有CCC個(gè)；甲必值周一，有CCC個(gè)；乙必值周六，有CCC個(gè)；甲必值周一且乙必值周六，有CCC個(gè)  所以每人值兩天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數(shù)，有N=CCC－2CCC+ CCC=90－2×5×6+12=42個(gè) 

課前后備注 　

30、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座概率與統(tǒng)計(jì)

高考要求

概率是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，尤其是新增的隨機(jī)變量這部分內(nèi)容  要充分注意一些重要概念的實(shí)際意義，理解概率處理問(wèn)題的基本思想方法 

重難點(diǎn)歸納

本章內(nèi)容分為概率初步和隨機(jī)變量?jī)刹糠?a >  第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)  第二部分包括隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的期望與方差 

涉及的思維方法  觀察與試驗(yàn)、分析與綜合、一般化與特殊化 

主要思維形式有  邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維 

典型題例示范講解

例1有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下 

［10，15］4  ［30，359  ［15，205  ［35，408 

［20，2510  ［40，453  ［25，3011

(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；

(2)畫(huà)出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖 

命題意圖  本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫(huà)法 

知識(shí)依托  頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫(huà)法 

錯(cuò)解分析  解答本題時(shí)，計(jì)算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別 

技巧與方法  本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系 

解  (1)由所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得如下頻率分布表 

數(shù)據(jù)段

頻數(shù)

頻率

累積頻率

［10,15

4

0.08

0.08

［15,20

5

0.10

0.18

［20,25

10

0.20

0.38

［25,30

11

0.22

0.60

［30,35

9

0.18

0.78

［35,40

8

0.16

0.94

［40,45

3

0.06

1

總計(jì)

50

1

(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下 

例2袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．

  (Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．

(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望E．

   (Ⅱ) 若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值．

命題意圖  本題考查利用概率知識(shí)和期望的計(jì)算方法 

知識(shí)依托  概率的計(jì)算及期望的概念的有關(guān)知識(shí) 

錯(cuò)解分析  在本題中，隨機(jī)變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤 

技巧與方法  可借助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算概率 

解  (Ⅰ)（i）

(ii)隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，；

由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，得

；

（或）

隨機(jī)變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數(shù)學(xué)期望是 

(Ⅱ)設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)球

由，得 

例3如圖，用A、B、C三類(lèi)不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N₁、N₂，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₂正常工作  已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N₁，N₂正常工作的概率P₁、P₂

解  記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，

由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90 

(1)因?yàn)槭录?i>A、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0.648 

(2)系統(tǒng)N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0  80×［1－(1－0  90)(1－0  90)］=0  792

故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0  792 

學(xué)生鞏固練習(xí)

1  甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是  現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為(    )

2  已知隨機(jī)變量ζ的分布列為  P(ζ=k)=,k=1,2,3,則P(3ζ+5)等于

A  6                B  9             C  3             D  4

3   1盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，每次取1個(gè)產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)ζ的期望Eζ=_________ 

4  某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個(gè)班中選出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，這4人恰好來(lái)自不同組別的概率是_________ 

5  甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算 

(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；

(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；

(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率 

6  已知連續(xù)型隨機(jī)變量ζ的概率密度函數(shù)f(x)=

(1)求常數(shù)a的值，并畫(huà)出ζ的概率密度曲線(xiàn)；

(2)求P(1＜ζ＜) 

7  設(shè)P在［0,5］上隨機(jī)地取值，求方程x²+px+=0有實(shí)根的概率 

8  設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0  2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作  若一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？

參考答案:

1  解析  設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生 

故目標(biāo)被擊中的概率為1－P(??)=1－

答案  A

2  解析  Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²= 

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6 

答案  A

3  解析  由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

    答案  0.3

4  解析  因?yàn)槊拷M人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P= 

答案 

5  解  (1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B  顯然事件A、B相互獨(dú)立，所以?xún)扇烁魃鋼粢淮味紦糁心繕?biāo)的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答