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1.為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號(hào)依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號(hào)可能是（   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

A.5，10，15，20，25                      B.2，4，8，16，32     

C.1，2，3，4，5                          D.7，17，27，37，47

2 已知單位圓O與X軸的正半軸相交于A點(diǎn)，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在X軸的非負(fù)半軸上，終邊與單位圓相交于P點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM垂直于X軸于點(diǎn)M，則有向線段MA表示的函數(shù)值是（   ）

    A.              B.          C.          D.  

3.將數(shù)字3，4，5，6，7排成一行，使得相鄰兩個(gè)數(shù)都互質(zhì)，則可能的排列方法共有（   ）種

   A.30                 B.48                C.42                D.36

4.若集合，則“”是“”（   ）

A.充分不必要條件                        B.充要條件          

C.必要不充分條件                         D.既不充分又不必要條件

5.將函數(shù)的圖象按向量平移得到的圖象，那么函數(shù)可以是（   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

     A.            B.             C.            D.    

6. 如果消息A發(fā)生的概率為P(A)，那么消息A所包含的信息量為,若王教授正在一個(gè)有4排8列座位的小型報(bào)告廳里聽報(bào)告，則發(fā)布的以下4條消息中，信息量最大的是（  ）

    A.王教授在第4排                        B. 王教授在第4排第5列

    C. 王教授在第5列                       D. 王教授在某一排    

7.已知函數(shù)，設(shè)的最小值為，則（   ）

  A.             B.0               C.1                D.4

8.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為和，且+=3，>,且和都是正整數(shù)，則數(shù)列的前十項(xiàng)和為（   ）

A.2046                B.         C.1023          D.

9.函數(shù) 對(duì)于總有成立，則a 的取值為（   ）

A.               B.            C.          D.

10.線段AB上的一點(diǎn)C，直線AB外一點(diǎn)P，滿足,

,I為PC上一點(diǎn)，且則的值為（   ）

   A.1                  B.2                 C.               D.

二.填空題

11.函數(shù)的定義域是_______________

12.已知曲線方程，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線都不是曲線的切線，則的取值范圍是_______________

13. 若的各數(shù)位上的數(shù)字之和，如，則，記…

，則=_______________

14. 定義：稱為個(gè)正數(shù)的“平均倒數(shù)”。若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為=_______________

15. 設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，對(duì)任意，有，則

（1）_______________

（2）若記，那么=_______________

三.解答題（共75分）

16.已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx－cos²ωx+（ω＞0，x∈R）的最小正周期為.

（1）求f（x）的解析式，并寫出函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x∈［］時(shí)，設(shè)a=2^f（x），解不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）.

17．投擲飛碟的游戲中，飛碟投入紅袋記2分，投入藍(lán)袋記1分，未投入袋記0分.現(xiàn)知某人在以前投擲1000次的試驗(yàn)中，有500次入紅袋，250次入藍(lán)袋，其余不能入袋

（Ⅰ）求該人在4次投擲中恰有三次投入紅袋的概率;

（Ⅱ）求該人兩次投擲后得分的數(shù)學(xué)期望

18．如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，點(diǎn)D是A₁C的中點(diǎn).

（1）求證：平面BDB₁平面AB₁C；

（2）求二面角C－AB₁－B的大小的正切值.

19.設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍

（3）若對(duì)任意的的，不等式上恒成立，求m的取值范圍

20.已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)滿足：,且存在正常數(shù)，使得。

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。

（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且與y軸的交點(diǎn)為D。若求的值。

21.已知點(diǎn)P在曲線上，設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線為，若與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A, 與X軸相交于B點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，設(shè)A,B的橫坐標(biāo)分別為，記

（1）求函數(shù)的解析式

（2）設(shè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列

，滿足，求的通項(xiàng)公式

（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，證明不等式.

參  考  答  案

1．D  2．D  3．D（A5 5－2C1 2A4 4+A2 2A3 3=36）  4．A（BA2≤a≤3）

5．C（y=2sin²x按向量－=（－，－1）平移得到f（x）cosx）  6．B

7．A（f（x）=1－≥－）  8．A（a₁=2，b₁=1，a_n=2?（）^n－1，b_n=2n－1，=2ⁿ）  9．C（按x＞0，x=0，x＜0討論分離變量）  10．D（點(diǎn)I為△PAB內(nèi)切圓的圓心）

11．    12．a＜－1或a＞0    13．11    14．4n－1

15．，0（f（x）=f ²（）≥0，f（1）=f（）=［f（）］²ⁿ，∴f（）=，a_n=f（2n+）=f（）=，=0）

16．解：（1）f（x）=

∵函數(shù)f（x）的最小正周期為，ω＞0

∴ω=2，∴f（x）=sin（4x－），由4x－=kπ（k∈z）得

x=（k∈z）

∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（，0）（k∈z）

（2）當(dāng)x∈［］時(shí)，4x－∈［，］

∴－1≤f（x）=sin（4x－）≤－

∴≤a=2^f（x）≤

∴不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）化為

0＜x＜或－＜x＜1

又≤x≤，∴不等式的解集為{x|≤x＜}．

17．解：（1）“投入紅袋”“投入藍(lán)袋”“不入袋”分別記事件A、B、C，則

P（A）=    P（B）=P（C）=

∴P₄（3）=C3 4（）³?（1－）=．

（2）ζ=0，1，2，3，4

P（ζ=0）=，P（ζ=1）=，P（ζ=2）=，P（ζ=3）=，P（ζ=4）=

∴Eζ=．

18．解：方法一

（1）證明：取AC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE

∵D是A₁C的中點(diǎn)，則DE∥AA₁，

∵AA₁⊥平面ABC

∴DE⊥平面ABC

則BE是BD在平面ABC內(nèi)的射影

∵AB=BC，BE⊥AC，∴BD⊥AC

同理可證明BD⊥B₁C

又AC∩B₁C=C，∴BD⊥平面AB₁C

而BDC⊥平面BDB，∴平面BDB₁⊥平面A₁BC．

（2）取AB₁中點(diǎn)F，連結(jié)CF，BF

∵AB=BB₁，∴BF⊥AB₁

∵AC=B₁C=，∴CF⊥AB₁

則∠BFC為二面角C－AB₁－B的平面角

在Rt△BFC中，BF=，BC=1，∠BFC=90°

∴tan∠BFC=．

方法二

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知：各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（0，0，1）

又D為A₁C的中點(diǎn)，∴D（，，）

（1）=（－1，1，0）  =（，，）

∴?=－++0=0

∴AC⊥BD  又B₁B⊥AC

∴AC⊥平面B₁BD   ∴平面AB₁C⊥平面BDB₁．

（2）設(shè)平面AB₁B的法向量為n₁，則n₁==（0，1，0）；設(shè)平面AB₁C的法向量為n₂=（x，y，z）

則由，得，取z=1，則n₂=（1，1，1）

cos＜n₁，n₂＞==

故二面角C－AB₁－B的平面角余弦值為，正切值為．

19．解：（1）∵f '（x）=3x²+2ax－a²=3（x－）（x+a）

又a＞0，∵當(dāng)x＜－a或x＞時(shí)f '（x）＞0

當(dāng)－a＜x＜時(shí)，f '（x）＜0

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞,－a)，［,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－a,)．

（2）由題設(shè)可知，方程

f ' （x）=3x²+2ax－a²=0

在［－1，1］上沒有實(shí)根

∴a＞3

（3）∵a∈［3，6］

∴由（1）知∈［1，2］，－a≤－3

又x∈［－2，2］

∴f（x）_max=max{f（－2），f（2）}

而f（2）－f（－2）=16－4a²＜0

∴f（x）_max=f（－2）=－8+4a+2a²+m

又∵f（x）≤1在［－2，2］上恒成立

∴f（x）_max≤1即－8+4a+2a²+m≤1

即m≤9－4a－2a²，在a∈［3，6］恒成立

∵9－4a－2a²的最小值為－87

∴m≤－87．

20．解：（1）在△PAB中，|AB|²=|PA|²+|PB|²－2|PA|?|PB|?cos2θ

∴4=（|PA|+|PB|）²－2|PA|?|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²－4m，∴（|PA|+|PB|=2），即點(diǎn)P的軌跡為橢圓，點(diǎn)P的軌跡C的方程為．

（2）由（2m+1）x²+2（m+1）x+1－m²=0

設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），D（0，1）

則x₁+x₂=…………①

x₁?x₂=…………②

又，∴（x₁，y₁－1）=（2+）（x₂，y₂－1）

∴x₁=（2+）x₂…………③

將③代入①②得

m=或m=－

∵m＞0  ∴m=．

21．解：（1）∵y=，∴y'=－，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，）

∴曲線C在點(diǎn)P點(diǎn)的切線斜率為－

則該切線方程為y－=－（x－t）

令y=0x_B=2t

由x_A=

∴x_A?x_B=2t?=

∴f（t）=（t＞1）．

（2）n≥2時(shí)，a_n=，==?+

即b_n=－=（－）=b_n－1

①當(dāng)k=3時(shí)，b_n=－1=0，∴{b_n}是以0為首項(xiàng)的常數(shù)列a_n=1．

②當(dāng)k≠3時(shí)，{b_n}是以1－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

∴b_n=（1－）?（）^n－1a_n=

綜合①②得

b_n=（1－）?（）^n－1，a_n=．

（3）a_n－=－=

∵1＜k＜3，∴＜0，0＜＜

∴a_n－＞?=?

a₁+a₂+…+a_n－=（a₁－）+（a₂－）+…+（a_n－）+8

＞+8＞［1－（）ⁿ］+8

＞+8=

∴1＜k＜3，∴＞0

故不等式a₁+a₂+…+a_n＞成立．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m