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          2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研
          數(shù)學(xué)（文科）試題
          考生注意：
          1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號填寫清楚.
          2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.
          一、填空題 （本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得5分，否則一律得零分。
          1．已知，若為純虛數(shù)，則的值為。    

          

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          2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。          

          

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          3．已知函數(shù)，。
          

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          4．在的二項(xiàng)展開式中，中間項(xiàng)的系數(shù)是__________。
          

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          5．已知數(shù)列滿足：，且對任意的正整數(shù)，都有，若數(shù)列
          

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          的前項(xiàng)和為，則。
          

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          6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則。 
          

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          7．一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是。
          

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          8．已知對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足. 若方程有且僅有2009個實(shí)數(shù)解，則這2009個實(shí)數(shù)解之和為             
。
          

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          9．袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設(shè)每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個數(shù)為。
          

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          10．中，分別是角的對邊，已知，，現(xiàn)有以下判斷:
          

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          ① 不可能等于15；②
若,則；③若,則有兩解。請將所有正確的判斷序號填在橫線上____________。
          

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          11．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動點(diǎn)，則的最小值是__________。
          

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          二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得 4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分。
          12．設(shè)已知全集，集合，則等于                   
                                   （    ） 
          

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          13．設(shè)                   
（    ）
          （A）0        
�。˙）1           
（C）2            
（D）3
          

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          14．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx + y + 4 = 0（k > 0）上一動點(diǎn)，PA、PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為    （    ）
          

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          15．已知不等式對于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）
          

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          三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
          16.（本題滿分11分） 如圖，、是單位圓上的點(diǎn)，是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，三角形為等邊三角形。求及的值。
           
           
           
           
           
          

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          17. （本題滿分12分） 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。
          

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          如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)， （Ⅰ）求證：平面；
          

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          （Ⅱ）求異面直線與所成角的大小。
           
           
           
           
          

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          18. （本題滿分12分） 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。
          某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）
          項(xiàng)目
          類別
          年固定成本
          （單位：萬美元）
          每件產(chǎn)品成本
          （單位：萬美元）
          每件產(chǎn)品銷售價
          （單位：萬美元）
          每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)（單位：件）
          A產(chǎn)品
          20
          

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          10
          200
          B產(chǎn)品
          40
          8
          18
          120
          

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          其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，為常數(shù)，且。另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交 萬美元的特別關(guān)稅。
          

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          （1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤，與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；
          （2）如何投資才可獲得最大年利潤。
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
          

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          已知函數(shù)，
          

          試題詳情
          

          （1）判斷的奇偶性，并說明理由；
          

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          （2）當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。
          

          試題詳情
          

          在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且。
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求點(diǎn)的的坐標(biāo)及橢圓的方程；
          

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          （Ⅱ）已知直線，且與橢圓交于兩點(diǎn)，提出一個與面積相關(guān)的問題，并作出正確解答。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
          

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          已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時，， 
          

          試題詳情
          

          （1）當(dāng)時，填寫下列列表格：
          

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          2
          3
          35
          100
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          （2）當(dāng)時，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；
          

          試題詳情
          

          （3）證明：對于數(shù)列，一定存在，使。
           
           
           
           
           
           
           
          2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研
          數(shù)學(xué)試卷（文科）
          

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          一、填空題：
          1．   2．    3．    4．    5．    6．   7．    8．2009     9．4個     10．①②    11．  
          二、選擇題：
          12．B    13．C    14．D    15．D
          三、解答題：
          16．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，   
          ，，              
                                           2分
          所以                                          
     4分
          （Ⅱ）因?yàn)槿切?sub>為正三角形，所以，，，                      
                           5分
          所以
                                                      
  7分
          所以
          。                                    
   11分
          17．方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以
          又所以，                                   
2分
          在中，由已知可得 而
          所以所以即，
          而       所以平面。                                   
5分
          （II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知
          所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，             
7分
          在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線，所以所以                       
  
          所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                          
12分
          18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為：
          且        
2分
          所以    
                 5分
          （Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，
          ，所以時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（萬美元）                
        
          又，所以時，生產(chǎn)B產(chǎn)品
          有最大利潤為460（萬美元）                              
             8分
          現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：
            10分
          所以：當(dāng)時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;
             
 當(dāng)時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；
               當(dāng)時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分
          19．解：（1）當(dāng)時， ，成立，所以是偶函數(shù)；
                     
                                                             3分
          當(dāng)時，，這時所以是非奇非偶函數(shù)；                                                          
6分
          （2）當(dāng)時，設(shè)且,則
                           
9分
          當(dāng)時，因?yàn)?sub>且，所以
          所以，
          ，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。  14分
          20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，
          所以。                                                     
4分
          在上，由已知橢圓的半焦距，于是
          消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．
          故橢圓的方程為。                                     
7分
          （另法：因?yàn)?sub>在上，
          所以，所以，以下略。）
          （Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為
          ，又，
          所以，
          且。                                     
10分
          下面視提出問題的質(zhì)量而定：
          如問題一：當(dāng)面積為時，求直線的方程。（）      得2分
          問題二：當(dāng)面積取最大值時，求直線的方程。（）       得4分
          21．解：（1）
          2
          3
          35
          100
          97
          94
          3
          1
                                                                         
         4分
          （2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                                 
6分
          從而=                         8分
              =                       
10分
          （3）證明：①若,則題意成立，                                  
12分
          ②若,此時數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即，
          設(shè),則當(dāng)時,，
          從而此時命題成立；                                                      
14分
          ③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立，
          綜上所述,原命題成立。           
                                         16分
           
           
           
           
          
				
          
	
          
		
          


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