立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)（六）（有詳細(xì)答案）
251. 已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，PD
面AC，PD=AD=
，設(shè)點(diǎn)C到面PAB的距離為d1，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2，則（ ）
（A） <d1 <d2（B）d1< d2<（C）d1<< d2（D）d2<d1<
解析：
，
，故d2<d1<，選D。
252.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。� （3）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角
的大小。
解析：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形�！郙N=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴
,
, 即
,
∴
（2）由（1）知: 
，
(3)取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，
∴∠AGB即為二面角α的平面角。又
，所以由余弦定理有
。故所求二面角
。
253. 如圖，邊長(zhǎng)均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為
。點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM=FN ,(1)求證:MN//面BCE ; (2)求證:MNAB;
(3)求MN的最小值.
解析：(1)如圖,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 連PN, GH , 易證MG//NH,且MG=NH, 故MGNH為平行四邊形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;
(2)易證AB面MNP, 故MNAB ;
(3)
即為面ABCD與ABEF所成二面角的平面角,即
,設(shè)AP=x , 則BP=a－x , ＮP=a－x , 所以：
，
故當(dāng)
時(shí)，ＭＮ有最小值
．
254.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=x ,BN=y,
（1）求MN的長(zhǎng)(用x,y表示)；（2）求MN長(zhǎng)的最小值，該最小值是否是異面直線(xiàn)AC，BF之間的距離。
解析：在面ABCD中作MPAB于P，連PN，則MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=
在
PBN中，由余弦定理得：PN2=
，在
中，MN=
；
（2）MN
，故當(dāng)
，
時(shí)，MN有最小值
。且該最小值是異面直線(xiàn)AC，BF之間的距離。
255.已知正四棱柱ABCD―A1B
a，求證：DQ面EAC；（2）判斷BP與面EAC是否平行，并說(shuō)明理由？（3）若點(diǎn)M在側(cè)面BBBP，試確定動(dòng)點(diǎn)M所在的位置。
解析：（1）證：首先易證ACDQ，再證EODQ（O為AC與BD的交點(diǎn)）在矩形BDD1B1中，可證EDO與BDQ都是直角三角形，由此易證EODQ，故DQ面EAC得證；
（2）若BP與面EAC平行，則可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中點(diǎn)，則E也應(yīng)是PD中點(diǎn)，但PD=
DD1=a，而ED=DO=BD=
a，故E不是PD中點(diǎn)，因此BP與面EAC不平行；
（3）易知，BPAC，要使AMBP，則M一定在與BP垂直的平面上，取BB1中點(diǎn)N，易證BP面NAC，故M應(yīng)在線(xiàn)段NC上。
256.如圖，已知平行六面體
的底面ABCD是菱形，
，（1）證明：
；
（II）假定CD=2，
，記面
為α，面CBD為β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；
（III）當(dāng)
的值為多少時(shí)，能使
？請(qǐng)給出證明.
解析：（I）證明：連結(jié)
、AC，AC和BD交于.，連結(jié)
， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 
可證
，
，
故
，但AC⊥BD，所以
，從而
；
（II）解：由（I）知AC⊥BD，，
是二面角α―BD―β的平面角，在
中，BC=2，
，
，
∵∠OCB=60°，
，
，故C1O=
，即
C1O=C
，垂足為H，∴點(diǎn)H是.C的中點(diǎn)，且
，所以
;
（III）當(dāng)
時(shí)，能使
證明一：∵，所以
，又
，由此可得
，∴三棱錐
是正三棱錐.
257.設(shè)
相交于G.，
，且
，所以
如圖，已知正方體ABCD―A1B
解析：本題的關(guān)鍵是畫(huà)出A
解 連B1D1交A
∴ A
∴ A
∴ OM是異面直線(xiàn)A
在直角ΔBB1D1中作B1N⊥BD1于N.
∵ BB1?B1D1＝B1N?BD1，a?
a＝B1N?
a，∴ B1N＝
a,OM＝B1N＝
a.
故異面直線(xiàn)Aa.
評(píng)析：作異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)一般是比較困難的，只有熟練地掌握線(xiàn)、線(xiàn)垂直，線(xiàn)、面垂直的關(guān)系后才能根據(jù)題目所給條件靈活作出.本題在求OM的長(zhǎng)度時(shí)，主要運(yùn)用中位線(xiàn)和面積的等量關(guān)系.
258.
已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分別是兩條異面直線(xiàn)l1和l2上的任意三點(diǎn)，M、N、R、T分別是A
證明 如圖，連結(jié)MN、NR，則MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直線(xiàn)上(否則，根據(jù)三線(xiàn)平行公理，知l1∥l2與條件矛盾).∴ MN、NR可確定平面β，連結(jié)B
β.
∴ M、N、R、T四點(diǎn)共面. 
=2：1
又是正三角形的BD邊上的高和中線(xiàn),∴點(diǎn)G是正三角形的中心.故
，即
。
證明二：由（I）知，，
，
當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形.同
的證法可得
， 又
，所以�！�
259. 如果把兩條異面直線(xiàn)看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在的12條直線(xiàn)中，異面直線(xiàn)共有( )
A.12對(duì)
B.24對(duì) C.36對(duì)
D.48對(duì)
解析：本題以六棱錐為依托，考查異面直線(xiàn)的概念及判斷，以及空間想象能力.
解法一：如圖，任何兩條側(cè)棱不成異面直線(xiàn)，任何兩條底面上的棱也不成異面直線(xiàn)，所以，每對(duì)異面直線(xiàn)必然其中一條是側(cè)棱而另一條為底面的棱，每條側(cè)棱，可以且只有與4條底面上的棱組成4對(duì)異面直線(xiàn)，又由共6條側(cè)棱，所以異面直線(xiàn)共6×4＝24對(duì).
解法二：六棱錐的棱所在12條直線(xiàn)中，能成異面直線(xiàn)對(duì)的兩條直線(xiàn)，必定一條在底面的平面內(nèi)，另一條是側(cè)棱所在直線(xiàn).底面棱所在直線(xiàn)共6條，側(cè)棱所在直線(xiàn)也有6條，各取一條配成一對(duì)，共6×6＝36對(duì)，因?yàn)�，每條側(cè)棱所在的直線(xiàn)，與底面內(nèi)的6條直線(xiàn)有公共點(diǎn)的都是2條，所以，在36對(duì)中不成異面直線(xiàn)的共有6×2＝12對(duì).所以，六棱錐棱所在的12條直線(xiàn)中，異面直線(xiàn)共有36-12＝24對(duì).
260. 分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.異面 C.平行或異面 D.相交或異面
解析：本題考查兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，異面直線(xiàn)的概念，以及空間想象能力.
解法一：設(shè)兩條異面直線(xiàn)分別為l1，l2，則與它們分別相交的兩條直線(xiàn)有可能相交，如圖1，也可能異面，如圖2，它們不可能平行，這是由于：假設(shè)這兩條直線(xiàn)平行，則它們確定一個(gè)平面α，兩條平行線(xiàn)與兩條異面直線(xiàn)l1與l2的四個(gè)交點(diǎn)均在α內(nèi)，則兩異面直線(xiàn)l1與l2也在α內(nèi)，這是不可能的.∴應(yīng)選D.
解法二：利用排除法，容易發(fā)現(xiàn)，分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)可以是相交的位置關(guān)系，由于這點(diǎn)可以排除選擇選A、B、C.故選D.
261. 已知兩平面α，β相交于直線(xiàn)a，直線(xiàn)b在β內(nèi)與直線(xiàn)a相交于A點(diǎn)，直線(xiàn)c在平面α內(nèi)與直線(xiàn)a平行，請(qǐng)用反證法論證b,c為異面直線(xiàn).
解析：這題規(guī)定用反證法，提出與結(jié)論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論.
證：用反證法.
假設(shè)b,c共面，則b∥c或b,c相交.
(1)若b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b這與b∩a＝A的已知條件矛盾；
(2)若b∩c＝P,∵ bβ，∴ P∈β.
又∵ cα，∴ P∈α. ∴ P∈α∩β而α∩β＝a.
∴ P∈a，這樣c,a有了公共點(diǎn)P，這與a∥c的已知條件矛盾.
綜上所述，假設(shè)不成立，所以b、c為異面直線(xiàn).
說(shuō)明 本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線(xiàn)的判定定理來(lái)證明.
262.
如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD―A1B
的中點(diǎn)分別是E、F.
(1)證明EF是AA1與BD1的公垂線(xiàn)段；
(2)求異面直線(xiàn)AA1和BD1間的距離.
解析：(1)連接ED1、EB，
則顯然ED1＝EB＝
a
又F為BD1之中點(diǎn).
∴ EF⊥BD1；
連接FA1，F(xiàn)A.
∵ F為正方體的中心，
∴ FA＝FA1，又E為AA1之中點(diǎn)，
∴ EF⊥A
故EF為AA1與BD1的公垂線(xiàn)段.
(2)在RtΔEFD1中
EF＝
＝
.
故AA1到BD1間的距離是
.
評(píng)析：今后學(xué)習(xí)了線(xiàn)面的位置關(guān)系之后，可以利用“轉(zhuǎn)化”的思想求距離.
263. 如圖所示，正三棱錐S―ABC的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)相等，如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)EF與SA所成的角.
解析：計(jì)算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的頂點(diǎn)在EF上.為此取SB之中點(diǎn)G，連GE、GF、BE、AE，由三角形中位線(xiàn)定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF與SA所成的角.若設(shè)此正三棱錐棱長(zhǎng)為a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝
a,EF＝
＝
a，因?yàn)棣GF為等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF與SA所成的角為45°.
說(shuō)明 異面直線(xiàn)所成角的求法：
利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上，通過(guò)證明所作的角就是所求的角或者補(bǔ)角，解三角形，可求.
264.
在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足
＝
＝
＝
＝k.
(1)求證：M、N、P、Q共面.
(2)當(dāng)對(duì)角線(xiàn)AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形時(shí)，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
解析：(1)∵ ＝＝k
∴ MQ∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝
∴ MQ＝BD
又 ＝＝k
∴ PN∥BD，且
＝
∴ 
＝
＝從而NP＝BD
∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點(diǎn)共面.
(2)∵ 
＝
，
＝
∴ ＝＝,
＝
∴ MN∥AC，又NP∥BD.
∴ MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.
∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90°
∴ AC與BD所成的角為90°，
又AC＝a，BD＝b，
＝
＝
∴ MN＝a
又 MQ＝b,且MQ＝MN，
b＝a，即k＝
.
說(shuō)明：公理4是證明空間兩直線(xiàn)平行的基本出發(fā)點(diǎn).
265.已知：直線(xiàn)a和直線(xiàn)b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c∥a，直線(xiàn)b與c不相交，求證：b、c是異面直線(xiàn).
證：因?yàn)閎,c不相交，b、c的位置關(guān)系有b∥c或b、c異面兩種可能.
假設(shè)b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b，這與已知a,b是異面直線(xiàn)矛盾.
所以b與c不能平行，又b、c不相交
所以b,c是異面直線(xiàn).
266.分別和兩條異面直線(xiàn)AB、CD同時(shí)相交的兩條直線(xiàn)AC、BD一定是異面直線(xiàn)，為什么?
證明：假設(shè)AC、BD不異面，則它們都在某個(gè)平面α內(nèi)，這時(shí)A、B、C、D四點(diǎn)都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，這與已知AB與CD異面矛盾，所以AC、BD一定是異面直線(xiàn).
267.
如圖，ABCD―A1B
，則BE1與DF1所成角的余弦值是( )
A.
B. C.
D.
解析：過(guò)A點(diǎn)在平面ABB，ABCD―A1B
A1B1，
又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.
∴ E1E＝A1B1，EB＝A1B1
在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝
＝.
∴ 應(yīng)選A.
268.
在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD―A1B
A. B.
C.
D.
解析：由圖所示，AM與CN是異面直線(xiàn)，過(guò)N作平行于AM的平行線(xiàn)NP，交AB于P，由定義可知∠PNC就是AM與CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆為直角三角形，且BP＝
，BN＝
，BC＝1，故PN2＝()2+()2＝
，CN2＝()2+12＝
，PC2＝()2+12＝
，在ΔPCN中cos∠PNC＝
，所以cos∠PNC＝
，因此應(yīng)選D.
269. 已知異面直線(xiàn)a與b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a、b所成的角都是30°的直線(xiàn)有且僅有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解析： 過(guò)P點(diǎn)分別作直線(xiàn)a′∥a,b′∥b,則a′與b′的夾角為50°，由異面直線(xiàn)所成的角的定義可知，過(guò)P點(diǎn)與a′,b′成30°角的條數(shù)，就是所求的條數(shù).
畫(huà)圖可知，過(guò)P點(diǎn)與a′、b′成30°角的直線(xiàn)只有兩條.
∴ 應(yīng)選B.
270. .若a、b為異面直線(xiàn)，P為空間一點(diǎn)，過(guò)P且與a、b所成角均為
的直線(xiàn)有( )
A.二條 B.二條或三條
C.二條或四條 D.二條、三條或四條
解析：D
271. 已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點(diǎn).
求證：①對(duì)角線(xiàn)AC、BD是異面直線(xiàn)，
②EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上.
解析：①提示：用反證法，或者用判定定理.
②提示：先證EH∥FG，EH＜FG，設(shè)FE∩GH＝0
又 0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.
∴O在平面ADC和平面ABC的交線(xiàn)AC上.
272.如果直線(xiàn)a垂直于直線(xiàn)b，那么直線(xiàn)a與平行于直線(xiàn)b的任意一條直線(xiàn)b′互相垂直
解析：在a上任取一點(diǎn)A，過(guò)A作b1∥b，則a與b1垂直.
∵b∥b′，b∥b1 ∴b1∥b′
∴直線(xiàn)a與b1和a與b′所成的角相等.
∴a⊥b′
273. 在一塊長(zhǎng)方形木塊的面上有一點(diǎn)P，木匠師傅要用鋸子從P和CD將木塊分成兩塊，問(wèn)怎樣畫(huà)線(xiàn).
解析：過(guò)P作C1D1的平行線(xiàn)EF，連DE、CF.
274.異面直線(xiàn)l1、l2，它們之間的距離為1，所成角是，它們的公垂線(xiàn)是AB，A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE＝BF＝1，求EF的長(zhǎng).
解析：如圖，用異面直線(xiàn)l1、l2作為長(zhǎng)方體的上、下底面的對(duì)角線(xiàn)，公垂線(xiàn)AB為高.
①EF的長(zhǎng)即是正方形PEE′F的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，為.
②側(cè)面
的對(duì)角線(xiàn)
，用勾股定理得＝2，即為所求.
275.試證：兩兩相交且不全過(guò)同一點(diǎn)的四條直線(xiàn)共面.
解析：(1)設(shè)a、b、c、d四條直線(xiàn)兩兩相交，且不過(guò)同一點(diǎn)，并且無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn).
記 a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,
∵ a∩b＝A,∴ a、b確定平面α.
∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α.
∴ BCα，即cα，同理dα
從而 a、b、c、d共面
(2)若有三線(xiàn)共點(diǎn)，不妨設(shè)b、c、d相交于A，
a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.
∴ a與A可確定平面α.
∵ B∈a. ∴B∈α，于是bα.
同理，cα，dα.
從而a、b、c、d共面.
276. 正方體的兩條體對(duì)角線(xiàn)所夾角的正弦值為_(kāi)_____________。
解析：易知故兩條體對(duì)角線(xiàn)相交，設(shè)交點(diǎn)為O（如圖），則即為所成的角。
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則
，所以，而，故
，即，
277.長(zhǎng)方體中，則所成角的大小為_(kāi)_____________。
解析：如圖所示，將平移到，則在中
278. 根據(jù)敘述作圖，指出二面角-l-的平面角，并證明．
（1）已知∩=l，A∈l（圖9-39）．在內(nèi)作PA⊥l于A，在內(nèi)作QA⊥l于A．
圖9-39
�。�2）已知∩=l，A∈，
（圖9-40）．作AP⊥于P，在內(nèi)作AQ⊥l于Q，連結(jié)PQ．
圖9-40
�。�3）已知∩=l，
，
（圖9-41）．作AP⊥于P，AQ⊥于Q，l∩平面PAQ=H，連結(jié)PH、QH．
解析：（1）PA
，QA，PA⊥l，QA⊥l，∴ ∠PAQ為二面角的平面角．
�。�2）∵ AP⊥，∴ PQ為AQ在平面內(nèi)的射影，∵ AQ⊥l，根據(jù)三垂線(xiàn)定理，有PQ⊥l，∴ ∠AQP為二面角的平面角（如圖答9-35）．
�。�3）∵ AP⊥，∴ AP⊥l，∵ AQ⊥，∴ AQ⊥l，∴ l⊥平面PAQ，∵ PH?QH平面PAQ，∴ l⊥PH，l⊥QH，∴ ∠PHQ為二面角的平面角（如圖答9-36）．
279. 如圖9-42，立體圖形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并說(shuō)明理由．
解析：取CD中點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，∵ AC=AD，∴ AE⊥CD．∵ BC=BD，∴ BE⊥CD，∴ ∠AEB為二面角A-CD-B的平面角．
280. 若二面角-l-的一個(gè)半平面上有一個(gè)點(diǎn)A，點(diǎn)A到棱l的距離是它到另一個(gè)平面的距離的2倍，則這個(gè)二面角的大小為（�。�
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：D．作AH⊥交于H，作HB⊥l于B，連結(jié)AB，由三垂線(xiàn)定理，HB⊥l，∴ ∠ABH為二面角-l-的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴ ∠ABH=30°．
281. 下列命題中正確的是（�。�
A．平面和分別過(guò)兩條互相垂直的直線(xiàn)，則⊥
B．若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)，則⊥
C．若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則⊥
D．若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則⊥
解析：C．內(nèi)的直線(xiàn)l垂直內(nèi)的相交直線(xiàn)a、b，則l⊥．∵ l，∴ ⊥．
282. 設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則（�。�
A．一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都垂直于另一個(gè)平面
B．過(guò)交線(xiàn)上一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線(xiàn)必在另一個(gè)平面上
C．過(guò)交線(xiàn)上一點(diǎn)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)，必垂直于另一個(gè)平面
D．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)互相垂直
解析：B．如圖答9-38，在正方體
中，平面
⊥平面ABCD，其中
平面，但不垂直平面ABCD，故A不正確．點(diǎn)D在交線(xiàn)AD上，
，但
不垂直平面ABCD，故C不正確．
平面，AC平面ABCD，但與AC不垂直，故D不正確．
283. 如圖9-43，∠AOB是二面角-CD-的平面角，AE是△AOB的OB邊上的高，回答下列問(wèn)題，并說(shuō)明理由：
�。�1）CD與平面AOB垂直嗎?
�。�2）平面AOB與、垂直嗎?
�。�3）AE與平面垂直嗎?
解析：（1）∵ ∠AOB是二面角-CD-的平面角，∴ OB⊥CD，OA⊥CD，∴ CD⊥平面AOB．
�。�2）∵ CD⊥平面AOB，CD，∴ ⊥平面AOB．同理⊥平面AOB．
�。�3）∵ CD⊥平面AOB，∵ AE平面AOB，∴ CO⊥AE，又∵ AE⊥OB，CD∩OB=O，∴ AE⊥平面BCD，即AE⊥．
284. 如圖9-44，以等腰直角三角形的斜邊BC上的高AD為折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的兩個(gè)面．求證：BD⊥CD，∠BAC=60°．
圖9-44
解析：∵ AD是等腰△ABC底邊BC上的高線(xiàn)，∴ AD⊥BD，AD⊥DC，∴ ∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵ 平面ABD⊥平面ACD，∴ ∠BDC=90°，即BD⊥DC．連結(jié)BC，設(shè)AD=a，則BD=DC=AD=a，
，
，
，∴ △ABC是正三角形，∴ ∠BAC=60°
285. 直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn)，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求證：α⊥β.
證明 過(guò)b上任意一點(diǎn)作直線(xiàn)a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.
設(shè)相交直線(xiàn)a′、b確定一個(gè)平面
,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.
在平面內(nèi)，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α
286. 在三棱錐S―ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求證：平面ASC⊥平面ABC.
證明 取AC的中點(diǎn)O，連SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S―AC―B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.
∴SO＝BO＝
a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.
即平面SAC⊥平面ABC.
另證：過(guò)S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面內(nèi)的射影是ΔABC的外心，同前面的證明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜邊AC上.又∵平面SAC經(jīng)過(guò)SO，∴平面SAC⊥平面ABC
說(shuō)明 證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是90°，或利用判定定理證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn).
287. 如圖，四面體ABCD的棱BD長(zhǎng)為2，其余各棱的長(zhǎng)均是，求：二面角A―BD―C、A―BC―D、B―AC―D的大小.
解析：(1)取BD的中點(diǎn)O，連AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，
∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥
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