絕密★啟用前
2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）
數(shù)學(xué)（文史類）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則a的值為 （ ）
A． B．－ C．8 D．－8
4．等差數(shù)列{a n}中，已知 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∠ F1MF2=120°則雙曲線的離心率為
（ ）
A． B． C． D．
6．設(shè)函數(shù)的取值范圍是 （ ）
A．（－1，1） B．（―1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．已知 （ ）
A． B． C． D．
8．函數(shù)上的偶函數(shù)，則= （ ）
A．0 B． C． D．
9．已知點(diǎn)的距離為1，則a= （ ）
A． B．－ C． D．
10．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，該圓柱的全面積為 （ ）
A． B． C． D．
11．已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4與P0重合，則tgθ= （ ）
A． B． C． D．1
12．一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 （ ）
A． B．4 C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．不等式的解集是 .
14．的系數(shù)是 .
15．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”
16．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地
圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，
現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方
法共有 種.（以數(shù)字作答）
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
（I）證明EF為BD1與CC1的公垂線；
（II）求點(diǎn)D1到面BDE的距離.
18．（本小題滿分12分）
已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中項(xiàng)，求|z|.
19．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列||滿足
（I）求
（II）證明
20．（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（I）函數(shù)數(shù)的最小正周期和最大值;
（II）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)上的圖象.
21．（本小題滿分12分）
在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南
22．（本小題滿分14分）
一、
1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A
二、13． 14． 15． 16．72
三、
17．（I）證明：取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MC，F(xiàn)M，
∵F為BD1中點(diǎn)， ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四邊形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF為BD1與CC1的公垂線
（II）解：連結(jié)ED1，有V
由（I）知EF⊥面DBD1，設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d，
則S△DBC?d=S△DCD?EF.
∵AA1=2?AB=1.
故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為.
18．解：設(shè)z=
由題設(shè)
即
（舍去）
即|z|=
19．（I）解∵
（II）證明：由已知
=
所以
20．解（I）
所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
21．解：如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?i>x軸正向.
在時(shí)刻：t（h）臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為
此時(shí)臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是，
其中t+60，
若在t時(shí)，該城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有
即
即， 解得.
答：12小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)氣侵襲
22．解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得
點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值.
按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
設(shè)，
由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直線OF的方程為：， ①
直線GE的方程為：. ②
從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程，
整理得.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之
和為定值.
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