黃岡八所重點高中高三五月模擬考數(shù)學試卷（理科）
（含答案及評分標準）
一.選擇題：本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求。
1.若
,
是虛數(shù)單位,且
,則在復平面內(nèi),復數(shù)
所對應的點在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知
,其中
,則滿足條件的不共線的
向量共有( ).
A.
個
B.
個
C.
個
D.
個
3. 函數(shù)
的一條對稱軸方程為 （ ）
A 
B 
C 
D 
4.在四邊形
中，
，
則
的值為（ �。�
A 0 B 
C 4 D 
5. 已知
,若
時有
成立,則
的值為( )
A.0 B.
C.
D.不確定
6.已知
,則
( ).
A.
B.
C.
D.不存在
7.設(shè)雙曲線
的兩條漸近線與右準線的三角形區(qū)域(包含邊界)為
,
為內(nèi)一個動點,則目標函數(shù)
的最小值為( ).
A.
B.
C.
D.
8.已知
是雙曲線
的兩焦點,以線段
為邊作正三角形
,若邊
的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是( ).
A.
B.
C.
D.
9. 數(shù)列
，2005，……，從第二項開始每一項等于它相鄰兩項的乘積減去1。問有多少個實數(shù)x能夠使得2008成為這個數(shù)列的某一項？（ ）
A．無窮多個 B．2個 C．3個 D．4個
10. 過四面體的頂點
作半徑為
的球，該球與四面體的外接球相切于點，且與平面
相切。若
，則四面體的外接球的半徑
為( )
二.填空題：本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上。
11.已知二項式
展開式的第
項與第
項之和為零,那么
等于
12. 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個數(shù)字,記為
,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為
,且
,若
,則稱甲乙”心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲,得出他們”心有靈犀”的概率為 .
13. 已知函數(shù)
,則
的值為 .
14.如右圖所示,在單位正方體
的面對
角線
上存在 一點
使得
最短,則
的最小值為
15. 對于函數(shù)
，（ 
）有下列命題：
①函數(shù)
的定義域是
，值域是
；
②函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，且對稱中心是
；
③函數(shù)在
時，在
與
上單調(diào)遞增；
④函數(shù)必有反函數(shù)
，且當
時，
;
⑤不等式
的解集就是不等式
的解集.其中正確的命題有
.
三.解答題：本大題6個小題,共75分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
已知
是定義在
上的偶函數(shù),當
時,
,當
時,
的圖像是斜率為
且在
軸上的截距為的直線在相應區(qū)間上的部分.
⑴求
、
的值；
⑵寫出函數(shù)的表達式,作出其圖像,并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
17.(本題滿分12分)
四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）
紀念幣
A
B
C
D
概率
1/2
1/2
a
a
這四個紀念幣同時投擲一次，設(shè)ξ表示正面向上的個數(shù)。
（1）求概率p(ξ)
（2）p（ξ=2）為最大時，a的取值范圍。
（3）求ξ的數(shù)學期望。
18.(本題滿分12分)
如圖,矩形
與
所在平面垂直,將矩形沿
對折,使得翻
折后點
落在
上,設(shè)
.
⑴試求關(guān)于
的函數(shù)解析式；
⑵當取最小值時,指出點的位置,
并求出此時
與平面
所成的角；
⑶在條件⑵下,求三棱錐
內(nèi)切球的半徑.
19.(本題滿分12分)
已知雙曲線
的右焦點是
,右頂點是
,虛軸的上端點
是
,
,
.
⑴求雙曲線的方程；
⑵設(shè)是雙曲線上的點,過點、的直線
與軸交于點
,若
,求直線 的斜率.
20.(本題滿分13分)
已知函數(shù)
(為常數(shù))是實數(shù)集
上的奇函數(shù),函數(shù)
是區(qū)間 
上的減函數(shù).
⑴若
在
上恒成立,求
的取值范圍；
⑵討論關(guān)于的方程
的根的個數(shù).
21.(本題滿分14分)
已知負數(shù)a和正數(shù)b，令a1=a，b1=b，且對任意的正整數(shù)k，當≥0時,有ak+1=ak，
bk+1=；當<0,有ak+1 =，bk+1 = bk．
（1）求bn-an關(guān)于n的表達式；
（2）是否存在a,b，使得對任意的正整數(shù)n都有bn>bn+1？請說明理由．
（3）若對任意的正整數(shù)n，都有b2n-1>b2n，且b2n=b2n+1，求bn的表達式．
答案解析
一.選擇題(本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)
1. 選：C 因
，由復數(shù)相等的定義：
2.選：C 依題意很容易寫出16組向量的坐標即
但
與
共線；
共線；
共線，所以16-4=12（個）
3. 選：D 原式即
，畫圖可得對稱軸為或利用三角函數(shù)的圖像特征：對稱軸一定過最值點，同樣可得。
4. 選A： 因
所以
，又由知
，所以四邊形為平行四邊形
故
5.選A
6.選C：
7. 選B：如圖
8. 選D：由雙曲線的對稱性知點M一定在y軸上，設(shè)邊的中點為
，由
，所以
，故點坐標是
代入雙曲線方程得
9. 解：由遞推關(guān)系
可得各項為，2005，
，
，
，，2005，…，對
歸納可證
，所以2008為數(shù)列的項
，，，之一等于2008，因此有4個這種。
10. 選：C. 過作平面的垂線，垂足為
，作
，垂足為，
，垂足為
，則
，且有
。由于
，則
，
，
，因此
為半徑為的球的直徑，從而四面體的外接球的球心
在的延長線上，于是有
，解得
。
二.填空題(本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上)
11．填：2 通項公式
，故
，解得
12. 填：0.28 
13. 填：
14.將矩形A1D1CB沿A1B折起使之與直角三角形A1AB在同一面內(nèi)如右圖
連接D的值最小值為
15. 填：①②③④⑤
三.解答題(本大題6個小題,共75分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.解：（1）
。
(2)
----------------------------------------6分
畫出
在
上的圖像如圖所示.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
和
,
單調(diào)減區(qū)間是
和
.-------------------------------------------12分
17.(本題滿分12分)
解：（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。
∴p(ξ=0)= 
(1-
)2(1-a)2=
(1-a)2
p(ξ=1)= 
(1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)
p(ξ=2)= 
()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2?
a2=(1+
p(ξ=3)= ()a(1-a)+ (1-) a2=
p(ξ=4)= ()2 a2=a2
------------------------------------------------------4分
(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=0) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)
則p(ξ=2)
p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)
－
≥0
p(ξ=2)p(ξ=3)≥0
由
，即a∈[
]
-------------------------------------------8分
（3）由（1）知ξ的數(shù)學期望為Eξ=0×
2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a2)+3×+4×
=2a+1 ------------------------------------------------------------------------12分
18.(本題滿分12分) 
解：(1)顯然h＞1，連接AQ，∵平面ABCD⊥平面ADQP,
PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,
∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h(huán)2.∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,
CQ=
,
∴
,即
.∴y=
(h＞1). ---------------------------4分
(2)y==
=+
≥2,
當且僅當
,即h=
時，等號成立.
此時CQ=1,即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,
∴AE=1,sinADE=
,∠ADE=30°. -----------------------------------------------8分
(3)設(shè)三棱錐P－ADQ的內(nèi)切球半徑為r,則
(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)?r=VP－ADQ .
∵VP－ADQ=
S△ADQ?PA=
,S△PAQ=1,S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,
∴r=
----------------------------------------------------------------12分
19.(本題滿分12分)
解：（1）由條件知A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0）
故雙曲線的方程為
------------------------6分
（2）∵點F的坐標為
∴可設(shè)直線l的方程為
，
令x=0，得
即
設(shè)Q（m，n），則由
故直線l的斜率為
-------------------------------------------------------------------12分
20.(本題滿分13分)
解：（1）
是奇函數(shù)，
則
恒成立.
又
在[－1，1]上單調(diào)遞減，
令
則
.-----------------------------6分
（2）由（I）知
令
，
，
當
上為增函數(shù)；
上為減函數(shù)，
|
，
、
在同一坐標系的大致圖象如圖所示，
時，方程無解.
時，方程有一個根.
時，方程有兩個根.
------------------------------------------------14分