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          2006高考數(shù)學試題陜西卷
          理科試題（必修＋選修II）
          注意事項：
                 １．本試卷分第一部分和第二部分。第一部分為選擇題，第二部分為非選擇題。
                 2．考生領到試卷后，須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準考證號，并在答題卡上填涂對應的試卷類型信息點。
                 3．所有答案必須在答題卡上指定區(qū)域內作答�？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
          第一部分（共60分）
          一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
          1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}, 則P∩Q等于(  )
           
A. {2}    
B.{1,2}   C.{2,3}  D.{1,2,3}
          

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          2.復數(shù)等于(    )
           A.1－i     B.1+i     C.－1+ i     D.－1－i
          

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          3. n→∞lim等于(   )
           A. 1    B.      C.     D.0
          

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          4.設函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的圖象過點(2,1),其反函數(shù)的圖像過點(2,8),則a+b等于(   )
          A.6          
B.5    C.4      D.3
          

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          5.設直線過點(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為(   ) 
          A.±    B.±2      B.±2    D.±4
          

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          6."等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差數(shù)列"的(  )
          A.必要而不充分條件    B.充分而不必要條件
          C.充分必要條件        D.既不充分又不必要條件
          

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          7.已知雙曲線 －  =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為(  )
          A.2        B.     C.      
D.
          

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          8.已知不等式(x+y)( + )≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為(   )
          A.2   B.4     C.6     D.8
          

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          9.已知非零向量與滿足(+)?=0且?= , 則△ABC為( 
)
          A.三邊均不相等的三角形    B.直角三角形
          C.等腰非等邊三角形        D.等邊三角形
          

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          10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1－a,則(    )
          A.f(x1)<f(x2)     B.f(x1)=f(x2)    C.f(x1)>f(x2)   D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定
          

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          11.已知平面α外不共線的三點A,B,C到α的距離都相等,則正確的結論是(  
)
          A.平面ABC必平行于α      B.平面ABC必與α相交
          C.平面ABC必不垂直于α    D.存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內
          

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          12.為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為( 
)
          A.4,6,1,7   B.7,6,1,4      C.6,4,1,7    D.1,6,4,7
          第二部分（共90分）
          

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          二．填空題：把答案填在答題卡相應題號后的橫線上（本大題共4小題，每小題4分，共16分）。
          13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為      
          

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          14.(3x－)12展開式x－3的系數(shù)為        (用數(shù)字作答)
          

          試題詳情
          

          15.水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面α的距離是         
          

          試題詳情
          

          16.某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有      種 
          

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          三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共74分）。
          17.(本小題滿分12分)
          已知函數(shù)f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期    ;  (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          18. (本小題滿分12分)
          甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是,  ,  .
          (Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;
          (Ⅱ)用ξ表示乙投籃3次的進球數(shù),求隨機變量ξ的概率分布及數(shù)學期望Eξ.
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19. (本小題滿分12分)
          如圖,α⊥β,α∩β=l ,
A∈α, B∈β,點A在直線l 上的射影為A1, 點B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
           (Ⅰ) 直線AB分別與平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.
          

          試題詳情
          

             
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20.
(本小題滿分12分)
           已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an .
           
           
           
           
          

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          21. (本小題滿分12分)
          如圖,三定點A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三動點D,E,M滿足=t,  = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求動直線DE斜率的變化范圍; (Ⅱ)求動點M的軌跡方程.
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          22.（本小題滿分１4分）
          已知函數(shù)f(x)=x3－x2+ +  , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0.

          （I）證明：f(x)是R上的單調增函數(shù)；設x1=0, xn+1=f(xn);       y1=, yn+1=f(yn), 
          其中　n=1,2,……
          （II）證明：xn<xn+1<x0<yn+1<yn;

          （III）證明： <   .
           
           
           
          

          試題詳情
          

          一、選擇題
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          9
          10
          11
          12
          答案
          B
          C
          B
          C
          B
          A
          D
          B
          D
          A
          D
          C
          1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x2+x－6≤0} =， 所以P∩Q等于{1，2} ，選B．
          2．復數(shù)=，選C．
          3．
n→∞lim=
               =，選B．
          4．函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的圖象過點(2，1)，其反函數(shù)的圖象過點(2，8)，
          則，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，選C．
          5．設直線過點(0，a)，其斜率為1，
且與圓x2+y2=2相切，設直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴ ，∴ a 的值±2，選B． 
          6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，則α+γ=kπ+(－1)k?2β，此時α、β、γ不一定成等差數(shù)列，若α、β、γ成等差數(shù)列，則2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差數(shù)列”的．必要而不充分條件。選A．
          7．已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D．
          8．已知不等式(x+y)()≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正實數(shù)a的最小值為4，選B．
          9．已知非零向量與滿足()?=0，即角A的平分線垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC為等邊三角形，選D．
          10．已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，0<a<3，∴ x1+x2=1－a∈(－2，1)，x1與x2的中點在(－1，)之間，x1<x2，∴ x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離，∴ f(x1)<f(x2)
，選A．
          11．已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，則可能三點在α的同側，即．平面ABC平行于α，這時三條中位線都平行于平面α；也可能一個點A在平面一側，另兩點B、C在平面另一側，則存在一條中位線DE//BC，DE在α內，所以選D． 
          12．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為:明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16。當接收方收到密文14，9，23，28時，
          則，解得，解密得到的明文為C．
          二、填空題
          13．－   14．594   15．3R     16．600
          13．cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．
          14．(3x－)12展開式中，x－3項為=594，的系數(shù)是594．
          15．水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形)．在這4個球的上面放1個半徑為R的小球，它和下面4個球恰好都相切，5個球心組成一個正四棱錐，這個正四棱錐的底面邊長為4R，側棱長為3R，求得它的高為R，所以小球的球心到水平桌面α的距離是3R．
          16．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論，①
甲、丙同去，則乙不去，有=240種選法；②甲、丙同不去，乙去，有=240種選法；③甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派方案．
           
          三、解答題
          17．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) 
                   
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
                  
=2sin[2(x－)－]+1
                  
= 2sin(2x－) +1  
          ∴ T==π
           
(Ⅱ)當f(x)取最大值時， sin(2x－)=1，有  2x－ =2kπ+ 
          即x=kπ+    (k∈Z)  ∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+  ，  (k∈Z)}．
          18．解: (Ⅰ)記"甲投籃1次投進"為事件A1 ， "乙投籃1次投進"為事件A2 ， "丙投籃1次投進"為事件A3， "3人都沒有投進"為事件A ．
則 P(A1)=
， P(A2)=
， P(A3)=
，
          ∴ P(A) = P()=P()?P()?P()
           = [1－P(A1)]
?[1－P (A2)] ?[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
          ∴3人都沒有投進的概率為 ．
          (Ⅱ)解法一: 隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3，
)， 
          P(ξ=k)=C3k()k()3－k  (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× =  ．
          解法二: ξ的概率分布為:  
           
          ξ
          0
          1
          2
          3
          P
          Eξ=0×+1×+2×+3×=   ．
           
          19．解法一: (Ⅰ)如圖， 連接A1B，AB1， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA1⊥l，
BB1⊥l， 
          ∴AA1⊥β， BB1⊥α． 則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與α和β所成的角．
          Rt△BB1A中， BB1= ， AB=2， ∴sin∠BAB1 =  =  ． ∴∠BAB1=45°．
          Rt△AA1B中，
AA1=1，AB=2， sin∠ABA1= =  ， ∴∠ABA1= 30°．
          故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．
          (Ⅱ) ∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α．在平面α內過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
          在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=． ∴Rt△AA1B中，A1B== = ． 由AA1?A1B=A1F?AB得
A1F== = ，
          ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE =  = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin．
          解法二: (Ⅰ)同解法一．
          (Ⅱ) 如圖，建立坐標系， 則A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一點F(x，y，z)，則存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴點F的坐標為(t， t，1－t)．要使⊥，須?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴點F的坐標為(，－，  )， ∴=(，，  )． 設E為AB1的中點，則點E的坐標為(0，， )． ∴=(，－，)．
          又?=(，－，)?(，1，－1)=  －  －  =0， ∴⊥， ∴∠A1FE為所求二面角的平面角．
          又cos∠A1FE= = =  =  = ，
          ∴二面角A1－AB－B1的大小為arccos．
          20．解: ∵10Sn=an2+5an+6， ①   ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 
          又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 
           由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0  
          ∵an+an－1>0  ， ∴an－an－1=5 (n≥2)． 
          當a1=3時，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;
          當a1=2時， a3=12， a15=72， 有
a32=a1a15
， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
          21．解法一: 如圖， (Ⅰ)設D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t，  = t
， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)．   ∴  同理  ． ∴kDE =  =  = 1－2t．
          ∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
          (Ⅱ) ∵=t
 ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)． ∴     ， ∴y= ， 即x2=4y．  ∵t∈[0，1]，
x=2(1－2t)∈[－2，2]．
          即所求軌跡方程為: x2=4y， x∈[－2，2]
          解法二: (Ⅰ)同上．
          (Ⅱ) 如圖， =+ = +  t
= + t(－) = (1－t) +t，
           = + = +t = +t(－) =(1－t) +t， 
           = += + t= +t(－)=(1－t) + t
               = (1－t2)  + 2(1－t)t+t2 ．
          設M點的坐標為(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
            消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
          故所求軌跡方程為: x2=4y， x∈[－2，2]
          22．解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 ， ∴f(x)是R上的單調增函數(shù)．
          （II）∵0<x0< ， 即x1<x0<y1．又f(x)是增函數(shù)， ∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2．
          又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1， y2=f(y1)=f()=<=y1，綜上， x1<x2<x0<y2<y1．
          用數(shù)學歸納法證明如下:
          (1)當n=1時，上面已證明成立．
          (2)假設當n=k(k≥1)時有xk<xk+1<x0<yk+1<yk
． 
          當n=k+1時，由f(x)是單調增函數(shù)，有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk)，∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1
          由(1)(2)知對一切n=1，2，…，都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn．
          （III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+
 ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+

           
=[(yn+xn)－]2+ ． 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1．∴－ < yn+xn－ <  ， ∴ < ()2+ = 
           
           
           
           
          
				
          
	
          
		
          


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