高考數(shù)學模擬測試題（四）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
學模擬測試題（四）.files/image002.gif)
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k 學模擬測試題（四）.files/image004.gif)
次的概率學模擬測試題（四）.files/image006.gif)
其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設全集I={2，4，6，8}，集合A={8，|a－1|}，學模擬測試題（四）.files/image008.gif)
={4，6}，則a的值為（ ）
A．－3 B．1 C．－3或1 D． 3或－1
2．已知函數(shù)f(x)=學模擬測試題（四）.files/image010.gif)
，則它的反函數(shù)y=學模擬測試題（四）.files/image012.gif)
的圖象是( )
學模擬測試題（四）.files/image014.jpg)
3．已知tan學模擬測試題（四）.files/image016.gif)
=學模擬測試題（四）.files/image018.gif)
,tan(－學模擬測試題（四）.files/image020.gif)
)=－學模擬測試題（四）.files/image022.gif)
，則tan(－2)的值是（ ）
A．學模擬測試題（四）.files/image024.gif)
B． －學模擬測試題（四）.files/image026.gif)
C．學模擬測試題（四）.files/image028.gif)
D． －
4．將函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image031.gif)
的圖象按向量a=(學模擬測試題（四）.files/image033.gif)
,0)平移后，所得圖象對應的函數(shù)是 （ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
甲
乙
丙
丁
學模擬測試題（四）.files/image035.gif)
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
5．甲、乙、丙、丁四名射擊選手在選撥賽中所得的平均環(huán)數(shù)學模擬測試題（四）.files/image036.gif)
及
其方差S2如下表所示，則選送參加決賽的最佳人選是 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知球的表面積為20π，球面上有A、B、C三點，如果AB = AC = 2學模擬測試題（四）.files/image038.gif)
，BC = 4，則球心到平面ABC的距離為（ �。�
A．1 B．學模擬測試題（四）.files/image040.gif)
C．學模擬測試題（四）.files/image042.gif)
D．2
7．已知雙曲線學模擬測試題（四）.files/image044.gif)
的一條準線被它的兩條漸近線截得的線段長等于它的焦點到漸近線的距離,則該雙曲線的離心率為( )
A．學模擬測試題（四）.files/image046.gif)
B．2 C． D．學模擬測試題（四）.files/image049.gif)
8．已知集合學模擬測試題（四）.files/image051.gif)
，集合學模擬測試題（四）.files/image053.gif)
，那么學模擬測試題（四）.files/image055.gif)
中 （ ）
A．恰有兩個元素 B．恰有一個元素 C．沒有元素 D．至多有一個元素
9．某路公共汽車始發(fā)站停放著2輛公共汽車，有3名司機和4名售票員準備上車執(zhí)行運營任務，若每輛汽車需要1名司機和2名售票員，其中1名售票員為組長，那么不同安排的方法總數(shù)是（ �。�
A．36 B．72 C．144 D．288
10．條件學模擬測試題（四）.files/image057.gif)
的解；條件學模擬測試題（四）.files/image059.gif)
學模擬測試題（四）.files/image061.gif)
的解，則學模擬測試題（四）.files/image063.gif)
的（
）
A ．充分非必要條件 B . 必要非充分條件 C ．充要條件 D． 非充分非必要條件
11. 等差數(shù)列{a n}中，已知a9＋a11=p，a 90＋a 92=q，則其前100項的和為 （ ）
A． 100(p+q) B．
50(p+q) C．25(p+q) D． 學模擬測試題（四）.files/image065.gif)
12．設函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image067.gif)
滿足學模擬測試題（四）.files/image069.gif)
，則方程學模擬測試題（四）.files/image071.gif)
根的個數(shù)可能是（ ）
A． 無窮多 B．沒有或者有限個 C．有限個 D．沒有或者無窮多
二、填空題：本大題共６小題，每小題４分，共２４分.
13．給定兩個向量a=(1,2)，b =(x,1)，若a＋b與a－b垂直，則x的值等于______________．
14．學模擬測試題（四）.files/image073.gif)
的展開式中x2的系數(shù)為
．
15．已知直線學模擬測試題（四）.files/image075.gif)
和平面學模擬測試題（四）.files/image077.gif)
，試利用上述三個元素并借助于它們之間的位置關系，構造出一個判斷⊥ 的真命題 ．
16．已知x、y滿足約束條件學模擬測試題（四）.files/image079.gif)
，則z=2x+y的最大值是 ．
17．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若學模擬測試題（四）.files/image081.gif)
，則角C的取值范圍是
．
18．定義在N＋上的函數(shù)f(x)，滿足f (1 )＝1，且f(n+1)=學模擬測試題（四）.files/image083.gif)
則f(22) = ．
三、解答題：本大題共5小題，共66分.
19．（本小題滿分12分）10張獎券中，一等獎的有2張，二等獎的有3張，三等獎的有5張．每次從中任抽１張．
（Ⅰ）連續(xù)抽�。炒危看稳『蟛环呕兀�，求至少有一次中一等獎的概率；
（Ⅱ）連續(xù)抽�。荡危看稳『蠓呕兀蟮谝淮沃幸坏泉�，后四次中恰有２次中二等獎的概率．
20．（本小題滿分12分）設函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image085.gif)
．
（Ⅰ）若學模擬測試題（四）.files/image087.gif)
的圖象與直線學模擬測試題（四）.files/image089.gif)
相切，切點橫坐標為２，且在學模擬測試題（四）.files/image091.gif)
處取極值，求實數(shù)學模擬測試題（四）.files/image093.gif)
的值；
（Ⅱ）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點．
21．(本小題滿分14分） P是矩形ABCD所在平面外一點，AB=2，BC=3，PA=PB=學模擬測試題（四）.files/image096.gif)
，二面角
P－AB－C為600．
（Ⅰ）求PC與平面ABCD所成的角；
（Ⅱ）在PC上找一點E，使PA∥平面BED；
學模擬測試題（四）.files/image098.gif)
（Ⅲ）求PC與BD所成的角．
22．（本小題滿分14分）已知點A、B的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；
學模擬測試題（四）.files/image100.gif)
（Ⅱ）試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關系，并加以證明．
23．（本小題滿分14分）設數(shù)列學模擬測試題（四）.files/image102.gif)
滿足 a1=t，a2=t2，前n項和為Sn，且Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0(n∈N＋)．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）當t≠1時，求學模擬測試題（四）.files/image104.gif)
的前n項和學模擬測試題（四）.files/image106.gif)
；
（Ⅲ）若＜t＜2, 學模擬測試題（四）.files/image109.gif)
，求證：學模擬測試題（四）.files/image111.gif)
<學模擬測試題（四）.files/image113.gif)
．
一、選擇題：
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．A ９．C 10．A 11．C 12．D
二、填空題：13. －２ 14．１１ １５． 學模擬測試題（四）.files/image115.gif)
學模擬測試題（四）.files/image016.gif)
⊥學模擬測試題（四）.files/image020.gif)
或 學模擬測試題（四）.files/image117.gif)
⊥
１６．3 �。保罚�學模擬測試題（四）.files/image119.gif)
１８．學模擬測試題（四）.files/image121.gif)
三、解答題
19．解：（Ⅰ）記至少有一次中一等獎的事件為Ａ，
則其概率Ｐ（Ａ）＝學模擬測試題（四）.files/image123.gif)
＋學模擬測試題（四）.files/image125.gif)
＝學模擬測試題（四）.files/image127.gif)
．
答：至少有一次中一等獎的概率為． �。�6分
注：本小問缺少事件命名、答，各扣一分．
（Ⅱ）每次抽取獎券都是相互獨立的，其中后四次分別看作獨立重復實驗． ．．．．．．．．７分
設第一次中一等獎，后四次中恰有２次中二等獎的事件為B， �。阜�
則其概率Ｐ（B）學模擬測試題（四）.files/image129.gif)
=0.05292 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分
答：第一次中一等獎，后四次中恰有２次中二等獎的概率為0.05292． �。�2分
20．解：（Ⅰ）學模擬測試題（四）.files/image131.gif)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
由題意學模擬測試題（四）.files/image133.gif)
，代入上式，解之得：a=1，b=1． �。�5分
（２）當b=1時，學模擬測試題（四）.files/image135.gif)
學模擬測試題（四）.files/image137.gif)
因學模擬測試題（四）.files/image139.gif)
故方程有兩個不同實根學模擬測試題（四）.files/image141.gif)
． �。�8分
不妨設學模擬測試題（四）.files/image143.gif)
，由學模擬測試題（四）.files/image145.gif)
可判斷學模擬測試題（四）.files/image147.gif)
的符號如下：
當學模擬測試題（四）.files/image149.gif)
＞０；
當學模擬測試題（四）.files/image152.gif)
＜０；
當學模擬測試題（四）.files/image154.gif)
＞０
因此學模擬測試題（四）.files/image156.gif)
是極大值點，學模擬測試題（四）.files/image158.gif)
是極小值點． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分
所以，當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image087.gif)
總有兩個不同的極值點．．．．．12分．
學模擬測試題（四）.files/image160.gif)
21．21．解:
（Ⅰ）設P點在平面ABCD上的射影為O, 連接CO,則∠PCO就是PC與平面ABCD所成的角,--------------------------1分
取AB的中點M,連接PM、OM,因為PA=PB,所以PM⊥AB,由三垂線定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角，即∠PMO=600，--------------2分
在ΔPAB中，
PM=學模擬測試題（四）.files/image162.gif)
學模擬測試題（四）.files/image164.gif)
過O作ON⊥BC交BC于N,則BN=MO=1,
在RtΔCON中,OC=學模擬測試題（四）.files/image166.gif)
------------------------3分
在RtΔPOC中 ，tan∠PCO=學模擬測試題（四）.files/image168.gif)
即PC與平面ABCD所成的角為arctan學模擬測試題（四）.files/image170.gif)
.-------------------------------------5分
(Ⅱ)連接AC、BD.交于點H,則H為AC的中點，取PC中點E，則PA∥HE,-----7分
學模擬測試題（四）.files/image172.gif)
所求。---9分
（Ⅲ）取PA中點為F,連接HF,則HF∥PC,所以∠BHF為異面直線PC與BD所成的角或其補角。----------------10分
在ΔBHF中，學模擬測試題（四）.files/image174.gif)
學模擬測試題（四）.files/image176.gif)
-------12分
學模擬測試題（四）.files/image178.gif)
COS∠BHF=學模擬測試題（四）.files/image180.gif)
∠BHF=arccos學模擬測試題（四）.files/image182.gif)
,即PC與BD所成的角為 arccos。--------14分
22．解：（Ⅰ）以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則 A（－1,0），B（1,0）………………………………………1’
學模擬測試題（四）.files/image184.gif)
設M（x,y）,由題意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2 ……..3’
故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓，……………………..5’
其方程為x2+2y2=2 ……………………….7’
（Ⅱ）直線l與曲線C的位置關系是相切�！�8’
證明如下: 由（Ⅰ）知曲線C方程為x2+2y2=2，
設P(m,n)，則P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m …………..9’
當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±，顯然結論成立. ………….10’
當P、A、B 不共線時，直線l的方程為：y-=-(x-)
整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋ ………………….11’
把直線l的方程代入曲線C方程得：x2+2（－x＋）2＝2
整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0 ………………………12’
學模擬測試題（四）.files/image186.gif)
判別式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2]
[2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]
=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0
∴直線l與曲線C相切 ……………………………14’
說明：以A或B為原點建系，可參照得分.
另證：在直線l上任取一點M’，連結M’A、M’B、MA，……………………………9’
由垂直平分線的性質(zhì)得 |M’A|=|M’P|，……………………………11’
∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2（當且僅當M、M’重合時取”=”號） ……13’
∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M
結論得證. …………14’
23解：（Ⅰ）；由Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0，得(t+1)Sn+1= Sn+2＋tSn，即學模擬測試題（四）.files/image188.gif)
,
（2分）
而 a1=t，a2=t2 （3分）
所以，當t≠0時，數(shù)列學模擬測試題（四）.files/image102.gif)
是以t為首項，t為公比的等比數(shù)列.于是學模擬測試題（四）.files/image190.gif)
。
經(jīng)驗證當t=0時上述結論仍成立 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知學模擬測試題（四）.files/image192.gif)
，則有
學模擬測試題（四）.files/image194.gif)
學模擬測試題（四）.files/image196.gif)
（5分）
當t≠0時
學模擬測試題（四）.files/image198.gif)
（6分）
于是有學模擬測試題（四）.files/image200.gif)
，解得學模擬測試題（四）.files/image202.gif)
（7分）
所以學模擬測試題（四）.files/image204.gif)
經(jīng)驗證當t=0時上述結論仍成立 （9分）
（Ⅲ）＝(tn＋t-n) ∵(tn＋t-n)－(2n＋2-n)＝(tn－2n)[1－()n] 且學模擬測試題（四）.files/image018.gif)
＜t＜2
∴＜<1 ∴tn－2n＜0且1－()n<0
∴(tn－2n) [1－()n]<0
∴tn＋t-n<2n＋2-n （11分）
∴ 2（ ++ ……+）<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n
=2n+1－（1＋2-n） （12分）
＜2n+1－2
∴學模擬測試題（四）.files/image111.gif)
<學模擬測試題（四）.files/image113.gif)
（14分）
另解：對f(t)求導，可得函數(shù)學模擬測試題（四）.files/image206.gif)
在區(qū)間學模擬測試題（四）.files/image208.gif)
上單調(diào)減，在區(qū)間學模擬測試題（四）.files/image210.gif)
上單調(diào)增，且f()=f(2)
于是有學模擬測試題（四）.files/image212.gif)
所以<學模擬測試題（四）.files/image214.gif)
=學模擬測試題（四）.files/image216.gif)
學模擬測試題（四）.files/image218.gif)
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