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圓錐曲線（拋物線、橢圓與雙曲線）
一、選擇題
1．【金麗衢聯(lián)考?理】7．若雙曲線
的一條漸近線方程為
．則此雙曲線的離心率為 B
A．
B．
C．
D．
2．【金麗衢聯(lián)考?文】3．若雙曲線的一條漸近線方程為
，則此雙曲線的離心率為 B
A．
B．
C．2 D．
3．【寧波市?理】7．已知
是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，
是經(jīng)過
且垂直于實(shí)軸的弦，若
是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為 B
（A）
（B）
（C）
（D）
4．【臺(tái)州市?理】8．已知拋物線
的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為 B
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【臺(tái)州市?文】8．雙曲線
的一條漸近線與橢圓
交于點(diǎn)
、
，則
=
A. 
+
B. 
C.
D.
6．【溫州十校聯(lián)合?理】8、已知定點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)P為拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=－1的距離為d，則|PA|+d的最小值為（ A ）
A．
B．2
C． 
D． 
7．【溫州十校聯(lián)合?文】6．若雙曲線
的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是（ ▲D ）
A．
B．
C．
D．
8．【溫州中學(xué)?理】7．設(shè)橢圓
的離心率為
，右焦點(diǎn)
，方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為
，則點(diǎn)
（ A
）
必在圓
外. 
必在圓上.
必在圓內(nèi). 
與的位置關(guān)系與有關(guān).
9．【溫州中學(xué)?文】7. 設(shè)橢圓
的離心率為
，焦點(diǎn)在
軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線
上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于
，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( A
)
A．
B．
C．
D．
二、填空題
1．【嘉興市?理】17．（文科17）已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線
的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 ▲2-
或2+ ．
2．【嘉興市?文】13．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ▲
．
3．【嘉興市?文】17．己知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 ▲2-或2+ ．
4．【金麗衢聯(lián)考?理】1l．（文科11）拋物線
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0） ．
5．
【金麗衢聯(lián)考?理】17．（文科17）我們可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被、甲、乙兩個(gè)封閉圖形所截得線段的比為定值
，那么甲的面積是乙的面積的倍，你可以從給出的簡(jiǎn)單圖形①（甲：大矩形
、乙：小矩形
）、②（甲：大直角三角形
乙：小直角三角形
）中體會(huì)這個(gè)原理，現(xiàn)在圖③中的曲線分別是
與
，運(yùn)用上而的原理，圖③中橢圓的而積為 
．
6．【寧波市?文】12．若拋物線
的焦點(diǎn)與雙曲線
的左焦點(diǎn)重合,則
的值 ▲4 .
7．【臺(tái)州市?理】13. 已知雙曲線
的離心率e=2，則其漸近線
的方程為 ▲
.
8．【溫州十校聯(lián)合?文】13. 以拋物線
的頂點(diǎn)為圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為半徑的圓的方程是_▲
_。
三、計(jì)算題
1．【嘉興市?理】22．(本小題滿分15分)
如圖，F(xiàn)是橢圓
(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1：
相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l2與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且
，求直線l2的方程．
【解】 (1)F(-c，0)，B(0,
)，∵kBF=，kBC=-
，C(3c，0)
且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，
∴ 
，解得c=1，
∴所求的橢圓方程為
6分
(2) 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，圓M的方程為(x-1)2+y2=4，
過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，設(shè)直線l2的方程為y=k(x+2)，
∵，又
，∴cos<MP，MQ>=
∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l2的距離d=
，所以
，∴k=
所求直線的方程為x×2
+2=0．
15分
2．【金麗衢聯(lián)考?理】22．（本題滿分16分）
已知橢圓
的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過
、
、
三點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于
、
的任意一點(diǎn)，
，當(dāng)
內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線
與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線
與直線
的交點(diǎn)在直線
上．
【解】 （1）設(shè)橢圓方程為
將、、
代入橢圓E的方程，得
解得
.
∴橢圓的方程
（4分）
（2）
，設(shè)邊上的高為
當(dāng)點(diǎn)
在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，
最大為，所以
的最大值為．
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為
，因?yàn)?a >的周長(zhǎng)為定值6．所以
，
所以的最大值為
．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為
（10分）
（3）法一：將直線
代入橢圓的方程并整理．
得
．
設(shè)直線
與橢圓的交點(diǎn)
，
由根系數(shù)的關(guān)系，得
．
直線的方程為：
，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
．
下面證明
、
兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：
，
因此結(jié)論成立．
綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上． （16分）
法二：直線的方程為：
由直線的方程為：
，即
由直線與直線的方程消去
，得
∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．
3．【金麗衢聯(lián)考?文】20．（本題滿分14分）
如圖，直角三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，直角頂點(diǎn)
，頂點(diǎn)
在軸上，點(diǎn)為線段
的中點(diǎn)．
（1）求
邊所在直線方程；
（2）為直角三角形外接圓的圓心，求圓的方程；
（3）若動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．
【解】（1）∵
，
，∴
，∴
（4分）
（2）在上式中，令
，得
，∴圓心
又∵
，∴外接圓的方程為
（9分）
（3）∵
，
∵圓過點(diǎn)，∴
是該圓的半徑
又∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，∴
，即
∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓，
∴
，
，
，∴軌跡方程為
（14分）
4．
【寧波市?理】21．（文科22）（本題15分）如圖，橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為
，
為橢圓中心，
為橢圓的右焦點(diǎn)，且
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于
兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為
的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解】（1）如圖建系，設(shè)橢圓方程為
,則
又∵即 
∴
故橢圓方程為
…………6分
（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則
設(shè)
，∵
，故
， ……8分
于是設(shè)直線為 
，由
得
…………………………………10分
∵
又
得
即
由韋達(dá)定理得
解得
或
（舍） 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件………15分
5．
【臺(tái)州市?理】21.（本題滿分15分）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為
，且經(jīng)過點(diǎn)
. 直線
交橢圓于兩不同的點(diǎn).
【解】
………………5分
6．【臺(tái)州市?文】21．（本小題滿分15分）設(shè)
，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在 軸上，且
（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)
是曲線上的點(diǎn)，且
成等差數(shù)列，當(dāng)
的垂直平分線與軸交于點(diǎn)
時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).
【解】 （1）設(shè)
，則由
得為
中點(diǎn)，所以
又
得
，
，
所以（
）.
………………6分
（2）由（1）知為曲線的焦點(diǎn)，由拋物線定義知，拋物線上任一點(diǎn)
到 的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即
，
所以
，
根據(jù)成等差數(shù)列，得
，
………………10分
直線的斜率為
，
所以中垂線方程為
，
………………12分
又中點(diǎn)
在直線上，代入上式得
，即
，
所以點(diǎn)
.
………………15分
7．【溫州十校聯(lián)合?理】21、（文科22）（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足
條件：△ABC的周長(zhǎng)為2＋2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ) 求W的方程；
(Ⅱ) 經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k
的取值范圍；
(Ⅲ)已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量
與
共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【解】
交點(diǎn)。
∴ 由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。
∴ 
。 ∴ 
∴W：
…………………………………………….5分
(Ⅱ) 設(shè)直線的方程為
，代入橢圓的方程，得
整理，得
① …………………………7分
因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
，解得
或
。
∴
滿足條件的k的取值范圍為或。
（Ⅲ）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2),
由①得
.
②
又
③
因?yàn)?a >
，
， 所以
.……………………… 12分
所以與共線等價(jià)于
.
將②③代入上式，解得
.
所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線. ……………………15分
8．
【溫州中學(xué)?理】21、（本題15分）已知點(diǎn)
，直線
，動(dòng)點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離等于點(diǎn)到直線
的距離，動(dòng)直線
與直線交于動(dòng)點(diǎn)
，過且平行于
軸的直線與動(dòng)直線
交于動(dòng)點(diǎn)
．
（Ⅰ）求證：動(dòng)點(diǎn)
在同一條曲線
上運(yùn)動(dòng)；
（Ⅱ）曲線在X軸上方的點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)
，
為線段
的中點(diǎn)．
（?）求證：直線
//軸；
（?）若直線平分
，求直線的方程．
【解】
9．【溫州中學(xué)?文】22．（本小題滿分15分）已知點(diǎn)
是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足
（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；
（2）已知點(diǎn)
在曲線上，過點(diǎn)作曲線的兩條弦
和
，且
，判斷：直線
是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.
【解】（1）設(shè)
（5分）
（6分）
（9分）
（11分）
（13分）
）
(15分)
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