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已知直線l：y=x+

6

，圓O：x²+y²=5，橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值．

（理）斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移得直線m，N是m上的動點(diǎn)，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）設(shè)C（p，0），D為拋物線y²=2px（p＞0）上一動點(diǎn)，是否存在直線l，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

如圖，橢圓C₁與橢圓C₂中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在x軸上，且離心率相同．橢圓C₁的長軸長為2

2

，且橢圓C₁的左準(zhǔn)線l：x=-2被橢圓C₂截得的線段ST長為2

3

，已知點(diǎn)P是橢圓C₂上的一個(gè)動點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁與橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A₁為橢圓C₁的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B₁為橢圓C₁的下頂點(diǎn)，若直線OP剛好平分A₁B₁，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M，N在橢圓C₁上，點(diǎn)P，M，N滿足

OP

=

OM

+2

ON

，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

如圖，已知動直線l經(jīng)過點(diǎn)P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn)，設(shè)直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．