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        1. 11.若函數()滿足.且時..則函數的圖象與函數的圖象的交點的個數為6. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          若函數滿足,且時,,則函數的圖象與函數圖象的交點個數為__________。

           

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          若函數滿足,且時,,則函數的圖象與函數圖象的交點個數為__________。

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          若函數滿足,且時,,則函數的圖象與函數圖象的交點個數為__________。

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          已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

          (Ⅰ)求實數的值; 

          (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

          (Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

          【解析】第一問當時,,則

          依題意得:,即    解得

          第二問當時,,令,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

          第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

          不妨設,則,顯然

          是以O為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

          (Ⅰ)當時,,則。

          依題意得:,即    解得

          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

          ①當時,,令

          變化時,的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調遞減

          極小值

          單調遞增

          極大值

          單調遞減

          ,,!上的最大值為2.

          ②當時, .當時, ,最大值為0;

          時, 上單調遞增!最大值為

          綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

          時,即時,在區(qū)間上的最大值為

          (Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

          不妨設,則,顯然

          是以O為直角頂點的直角三角形,∴

              (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

          若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

          ,則代入(*)式得:

          ,而此方程無解,因此。此時

          代入(*)式得:    即   (**)

           ,則

          上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是

          ∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

          因此,對任意給定的正實數,曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

           

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          已知函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

          (1)求f(x)的解析式;

          (2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數m的取值范圍.

          【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問,利用函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

          (2)中設切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數∴m=-2x03+6x02-6

          然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數求導數,判定單調性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

          解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

          依題意

          又f′(0)=-3

          ∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

          (2)設切點為(x0,x03-3x0),

          ∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

          ∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

          又切線過點A(2,m)

          ∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

          ∴m=-2x03+6x02-6

          令g(x)=-2x3+6x2-6

          則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

          由g′(x)=0得x=0或x=2

          ∴g(x)在(-∞,0)單調遞減,(0,2)單調遞增,(2,+∞)單調遞減.

          ∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

          畫出草圖知,當-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,

          所以m的取值范圍是(-6,2).

           

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