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用α、β、γ三個(gè)字母組成一個(gè)長(zhǎng)度為（n+1）（n∈N^*）個(gè)字母的字符串，要求由α開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如：n=1時(shí)，排出的字符串是αβ或αγ；n=2時(shí)，排出的字符串是αβα、αβγ、αγα、αγβ（如圖）．若記這種（n+1）個(gè)字符串中，最后一個(gè)字母仍是α的字符串的個(gè)數(shù)為a_n，可知a₁=0，a₂=2，a₃=2，a₄=6，…，則數(shù)列{a_n}的第n項(xiàng)a_n與第n-1項(xiàng)a_n-1（n≥2，n∈N^*）    ．

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線(xiàn)l₁：x=-2的垂線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線(xiàn)段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
進(jìn)一步思考問(wèn)題：若上述問(wèn)題中直線(xiàn)l1：x=-

a2

c

、點(diǎn)F（-c，0）、曲線(xiàn)C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，則使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不變．請(qǐng)給出你的判斷 （填寫(xiě)“不正確”或“正確”）（限于時(shí)間，這里不需要舉反例，或證明）．

對(duì)命題“a∥b∥c推出a∥c”，關(guān)于真假問(wèn)題，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的判斷如下:甲生判斷是真命題.理由是：由a∥b可知a與b的方向相同或相反,由b∥c可知c與b的方向相同或相反,從而有a與c的方向相同或相反,故a∥c,即原命題為真命題；乙生判斷是假命題.理由是：當(dāng)兩個(gè)非零向量a,c不平行,而b=0時(shí),顯然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此時(shí)結(jié)論不成立,即原命題為假命題.究竟甲、乙兩生誰(shuí)的判斷正確呢？請(qǐng)給以分析.

已知兩定點(diǎn)A(0，-1)，C(0，2)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設(shè)曲線(xiàn)Q與y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)B、F是曲線(xiàn)Q上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且=0，直線(xiàn)AE與BF交于點(diǎn)P(x₀，y₀)，求證：為定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問(wèn)的條件下，求證：過(guò)點(diǎn)p′(0，y₀)和點(diǎn)E的直線(xiàn)是曲線(xiàn)Q的一條切線(xiàn).

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問(wèn)的條件下，試問(wèn)是否存在點(diǎn)E使得(或)，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.