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已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中，

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若A，B是所求軌跡上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足OA⊥OB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
（3）過點(diǎn)F的直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求•的最小值．

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若A，B是所求軌跡上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足OA⊥OB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
（3）過點(diǎn)F的直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求•的最小值．

已知函數(shù)，它的一個(gè)極值點(diǎn)是．

(Ⅰ) 求的值及的值域；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．